Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Dos fábricas tienen que procesar cierta materia prima. Si la producción de la segunda fábrica se duplicara, el tiempo necesario para que las dos fábricas cumplan el encargo sería $\frac{2}{15}$ del tiempo que necesitaría la primera fábrica para completar el trabajo sola. ¿Cuál de las fábricas tiene mayor producción y cuántas veces más, si cada fábrica procesó al menos $\frac{1}{3}$ de la materia prima total?

Simplifique:
$$ P(x) = \frac{x^2(x-1)^2 - 1}{x^4 - (x+1)^2} + \frac{x^4 - (x-1)^2}{(x^2+1)^2 - x^2} + \frac{x^2 - (x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2 - 1} $$

$$ \begin{array}{lllll} \text{(A) } 1 & \text{(B) } 2 & \text{(C) } 3 & \text{(D) } 4 & \text{(E) } 5 \end{array} $$

Paso 1:
Resuelve la ecuación: $16x^4 + 8x^3 - 7x^2 + 2x + 1 = 0$.

Reduzca a su mínima expresión:
$$W = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2 + a} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + a}} \right) + \frac{a}{2} \cdot \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}}{x + \sqrt{x^2 + a}}$$

Demostrar que para todo $a \in \mathbb{R}$:
$$1 + 2a^4 \geq a^2 + 2a^3$$

Sean $a; b; c$ y $k$ números reales tales que $(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=k^2$ y $abc=a+b+c=k$. Si $k>0$, calcule el equivalente de $\frac{k}{\sqrt{3}}$.

A) $\sqrt{3}$      B) 1      C) 1/3      D) $\sqrt[3]{3}$      E) 3

Si $a_1 \geqslant 0, a_2 \geqslant 0, \dots, a_n \geqslant 0$, demostrar que:
$$\sqrt{a_1 a_2} + \sqrt{a_1 a_3} + \dots + \sqrt{a_1 a_n} + \sqrt{a_2 a_3} + \dots + \sqrt{a_{n-1} a_n} \leqslant \frac{n-1}{2}(a_1 + a_2 + \dots + a_n)$$

Efectuar la simplificación de:
$$ \frac{\sqrt[6]{b^5} - \sqrt[6]{a^2b^3} + \sqrt[6]{a^3b^2} - \sqrt[6]{a^5}}{\sqrt[6]{b} + \sqrt[6]{a}} \left( \frac{\sqrt[6]{ab^9} + \sqrt[6]{a^{10}}}{a - \sqrt{ab} + b} \right)^{-1} + 1 $$

Calcular:
$$ E = \begin{vmatrix} -2a & a+b & a+c \\ a+b & -2b & b+c \\ a+c & b+c & -2c \end{vmatrix} $$

a) $2(b+c)(a+c)(a+b)$ \\
b) $4(b+c)(a+c)(a+b)$ \\
c) $(a+b)(a+c)(b+c)$ \\
d) $a^3 + b^3 + c^3$ \\
e) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

Hallar el valor de: $V = (x^{-2} + y^{-2})^{-1} (x y^{-1} + x^{-1} y)$
Si:
$$ \begin{cases} x = 3 + \sqrt{2} \\ y = 3 - \sqrt{2} \end{cases} $$

\begin{array}{llll}
\text{A) } 4 & \text{B) } 5 & \text{C) } 7 & \text{D) } 1 & \text{E) } 0
\end{array}

Luego de simplificar indique su grado:
$$ E(x,y) = \frac{\left(x^2 - \frac{1}{y^2}\right)^x \left(x - \frac{1}{y}\right)^{y-x}}{\left(y^2 - \frac{1}{x^2}\right)^y \left(y + \frac{1}{x}\right)^{x-y}} $$
$$ \begin{array}{lllll} \text{a) } x & \text{b) } y & \text{c) } x-y & \text{d) } x+y & \text{e) } 2x-y \end{array} $$

Paso 1:
La masa de una aleación es de 2 kg. Consiste en plata y cobre, siendo la masa de la plata igual al $14 \frac{2}{7} \%$ de la masa del cobre. ¿Cuánta plata hay en la aleación?