Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Dos escolares salieron de su casa al mismo tiempo y caminaron hacia la escuela a la misma velocidad. Tres minutos después, uno de ellos recordó que había olvidado un libro necesario y corrió a casa a una velocidad que excedía la velocidad inicial en $60 \text{ m/min}$. Tomó el libro y corrió a la escuela a la misma velocidad. Alcanzó a su amigo, que caminaba a velocidad constante, en la entrada de la escuela. Hallar las velocidades de los escolares si la distancia de la escuela a su casa es igual a $280 \text{ m}$.

Resuelve la ecuación:
$$x^2 + 2x - 3 | x + 1 | + 3 = 0$$

Paso 1:
Un deportista que escala una montaña alcanza una altitud de $800$ m al término de la primera hora. Cada hora subsiguiente asciende a una altura de $25$ m menos que durante la hora precedente. ¿Cuántas horas le toma al deportista alcanzar una altitud de $5700$ m?

1. Hallar los valores enteros y positivos que satisfacen la inecuación:
$$\sqrt[3]{3^{\frac{5x + 1}{2}}} < \sqrt{9^{\frac{3(x + 1)}{5}}}$$

a) 2      b) 3      c) 1      d) 5      e) 6

Si $n = 2, 3, 4, \dots$, demuestre que:
$$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2} $$

Si el residuo de la división
$$\frac{9x^4 + 6ax^3 + (a^2 + 3b)x^2 + 9a^2x - 3ab}{3x^2 + ax - b}; ab \neq 0$$
es $R(x) = 6ab + b^2$, calcule el cociente $\frac{a}{b}$.

A) 9      B) 4      C) 1/4      D) 1/9      E) 6

Calcular el valor de la expresión $A$:
$$ A = \frac{[(x + x^{-1})^2 + (x - x^{-1})^2]^2 - 4(x + x^{-1})^2(x - x^{-1})^2}{(x^4 + x^{-4})^2 - (x^4 - x^{-4})^2} $$

a) -1      b) 2      c) 4      d) 1      e) 0

Simplificar la siguiente expresión, dado que $a > 0$ y $b > 0$:
$$ 2a \sqrt{1 + 0.25 \left(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2} \div \left(0.5 \left(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}}\right) + \sqrt{1 + 0.25 \left(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2}\right) $$

Paso 1:
Demuestre que para todo $n \in \mathbb{N}$, la expresión $(2^{5n+3} + 5^n \times 3^{n+2})$ es divisible por $17$.

16. Hallar el valor de "$x$" en el siguiente sistema de ecuaciones:
$$x^y = y^x \quad ; \quad 8^x = 5^y$$

a) $\left( \frac{\log 8}{\log 5} \right)^{\frac{\log 5}{\log 8 - \log 5}}$
b) $\left( \frac{\log 5}{\log 8} \right)^{\frac{\log 8}{\log 8 + \log 5}}$
c) $\left( \frac{\log 8}{\log 5} \right)^{\frac{\log 8}{\log 8 + \log 5}}$
d) $\left( \frac{\log 8}{\log 5} \right)^{\frac{\log 8}{\log 8 - \log 5}}$
e) $\left( \frac{\log 8}{\log 5} \right)^{\frac{\log 8}{\log 8 - \log 5}}$

Paso 1:
Halle las raíces de la ecuación: $x^3 + px + q = 0$, las cuales forman una progresión aritmética, con $p \neq 0$.

Calcular:
$$E = \left[ \frac{ \frac{1-x}{1-x+x^2} + \frac{1+x}{1+x+x^2} }{ \frac{1+x}{1+x+x^2} - \frac{1-x}{1-x+x^2} } \right]^{-1} \cdot \frac{1}{x^3}$$

a) 1/2      b) 2      c) 1      d) 4      e) -1