Aprende con Inteligencia

Paso 1:
El primer y tercer término de una progresión aritmética coinciden con el primer y tercer término de una progresión geométrica, respectivamente. El primer término en ambas sucesiones es $4$. Determine ambas progresiones si se sabe que el segundo término de la progresión aritmética excede al segundo término de la progresión geométrica en $8$ unidades.

Racionalizar:
$$\frac{2(\sqrt{15} - \sqrt{7})}{1 + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}$$

Demuestre la siguiente identidad utilizando el método de inducción matemática:
$$\left(1 - \frac{1}{4}\right) \left(1 - \frac{1}{9}\right) \left(1 - \frac{1}{16}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) = \frac{n+2}{2n+2}$$

Resolver para valores enteros y positivos y dar el valor de "y":
$$ \begin{cases} -x + 2y > 2 \\ x - y > -2 \\ 4x + y < 7 \end{cases} $$

a) 1      b) -4      c) 3      d) 5      e) 2

Calcular:
$$E = \begin{vmatrix} x - y & y(x + y) \\ -2 & (x + y) \end{vmatrix}$$

a) $x - y$      b) $x$      c) $y$      d) $x + y$      e) $2x$

Si $a, b, c, d$ están en progresión aritmética, demostrar que:
$$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{d}} = \frac{3}{\sqrt{a} + \sqrt{d}} $$

Si $a > 0$ y $b > 0$, demuestre que:
$$ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab} $$

Resuelve la ecuación:
$$ |x^2 + x - 1| = 2x - 1 $$

Si $P(x) = x^3 - 4x^2 + 3x - 3$, hallar:
$$E = P[P(4)]$$

a) 417      b) 429      c) 212      d) 414      e) 180

Encuentra las soluciones reales del siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 19 \\ (xy + 8)(x + y) = 2 \end{cases} $$

Dados $a$ y $b$ no nulos tales que $a+b=1$, calcule el valor numérico de $M$:
$$M = 3(a-b)^2 - 2(a^3+b^3) + 6(a-1)(b-1)$$

A) 1      B) 0      C) 3      D) -2      E) 5

Determine si el siguiente par de ecuaciones son equivalentes:
$$ x^2 + 1 = 0 \quad \text{y} \quad \frac{x^2 + 1}{x} = 0 $$