Aprende con Inteligencia

Demostrar la identidad para $|x| \neq 1$:
$$\frac{1}{1+x} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4} + \dots + \frac{2^n}{1+x^{2^n}} = \frac{1}{x-1} + \frac{2^{n+1}}{1-x^{2^{n+1}}}$$

Simplificar la expresión:
$$ \left( \frac{(a+b)(a^{2/3}-b^{2/3})^{-1} - (\sqrt[3]{a^2b} - \sqrt[3]{ab^2})(b^{1/3} - a^{1/3})^{-2}}{(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{b} + \sqrt[6]{ab} - 2\sqrt[3]{a})} \right)^{-1} + 2\sqrt[6]{a} $$

Dar el valor de la fracción:
$$A = \frac{(x^2+y^2+z^2)xyz}{x^5+y^5+z^5} \quad \text{para} \quad \begin{cases} x=a-b \\ y=b-c \\ z=c-a \end{cases}$$

a) 4/5      b) 2/5      c) 5      d) 2      e) 3

Paso 1:
El número de estudiantes de un instituto, aumentando en el mismo porcentaje cada año, creció de 5000 a 6655 en un periodo de tres años. ¿En qué porcentaje aumentó anualmente el número de estudiantes?

Paso 1:
Calcular el residuo en la división: $[(x + 2)^7 + 3(x + 2)^5 + x + 1] \div [(x + 1)(x + 3)]$.

Paso 1:
Tras procesar $450$ gramos de una aleación metálica, se extrajeron $18$ gramos de oro puro. Calcule el porcentaje de oro que contenía dicha aleación.

Paso 1:
Los números $a, b, 70$ son términos de una progresión aritmética. Entre $a$ y $b$ existe el mismo número de términos que entre $b$ y 70. Si la suma de los términos desde $a$ hasta $b$ es la mitad de la suma de términos desde $b$ hasta 70 (ajustado por consistencia con la respuesta), escriba los términos de la progresión.

Encuentra las soluciones reales del siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} = 12 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3} \end{cases} $$

Si el término independiente de $G_{(x+2)} = x^2 + (x+1)^n + 1$ es el doble de la suma de sus coeficientes, calcule el menor valor de $G_{(3)}$.

A) $6$      B) $14$      C) $10$      D) $4$      E) $7$

Paso 1:
Dos depósitos de almacenamiento contienen en conjunto $200\text{ kg}$ de harina. Si se extrae el $20\%$ de la harina del primer depósito y se traslada al segundo, ambos depósitos terminan con la misma cantidad de carga. Calcule cuántos kilogramos de harina tenía cada depósito inicialmente.

Si $a$ y $b$ son mayores que cero. Calcular $E = a + m$, sabiendo que el resto de la división:
$$\frac{3x^4 - 4x^3 + ax^2 + 5x - 2}{x^2 - x + m}$$
es $R = 8x - 2$.

a) 13      b) 3      c) 5      d) 10      e) 16

Calcule la suma de los infinitos términos dados por:
$$ \frac{1}{7} + \frac{2}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \frac{2}{7^4} + \frac{1}{7^5} + \frac{2}{7^6} + \dots $$
\text{Resp. } S = \frac{3}{16}