Aprende con Inteligencia

Demostrar la siguiente identidad para $x \neq 1$:
$$x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n = \frac{x - (n+1)x^{n+1} + nx^{n+2}}{(1 - x)^2}$$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones en el conjunto de los números reales:
$$ \begin{cases} \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} = 3 \\ \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z} = 3 \\ x + y + z = 3 \end{cases} $$

Hallar el exponente final de $x$ en:
$$ E = \underbrace{\sqrt[4]{x^3 \sqrt[4]{x^3 \sqrt[4]{x^3 \dots \sqrt[4]{x^3}}}}}_{n \text{ radicales}} $$

\begin{array}{llll}
\text{A) } \frac{2^n - 1}{2^n} & \text{B) } \frac{4^n - 1}{4^n} & \text{C) } \frac{2^n + 1}{4^n} & \text{D) } \frac{4^n - 1}{4} & \text{E) } \frac{4^n + 1}{2^n}
\end{array}

Demuestre que si $a + b + c = 0$, entonces se cumple la siguiente relación:
$$ \frac{a^7 + b^7 + c^7}{7} = \frac{a^5 + b^5 + c^5}{5} \cdot \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} $$

Se han sacado 9 litros de un barril lleno de vino, después se han llenado con agua y de esta mezcla se han sacado otros nueve litros, y el barril es nuevamente llenado con agua. Si la cantidad de vino que queda en el barril es a la cantidad de agua que se le ha añadido como 16 es a 9. ¿Qué capacidad tiene el barril?

$$ \begin{array}{lllll} \text{(a) } 42 & \text{(b) } 49 & \text{(c) } 45 & \text{(d) } 46 & \text{(e) } 48 \end{array} $$

8. Resolver y dar el valor de "$y$":
$$ \begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt{2x + 4y} = \sqrt{2} + 4 & (I) \\ \sqrt{x + 2y} - \sqrt{2x + 2y} = 2\sqrt{2} - 2 & (II) \end{cases} $$

a) $4$      b) $2$      c) $5$      d) $3$      e) $1$

Simplificar la expresión:
$$F = \sqrt{\frac{x^3}{\sqrt{\frac{x^2}{\sqrt{\frac{x^2}{\sqrt{x^3}}}}}}} \div \left[ \sqrt{\sqrt{\frac{\frac{1}{x^5}}{\frac{x^2}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2}}} \right]^{-1}$$

$$ \begin{array}{llll} \text{A) } x & \text{B) } x^{-1} & \text{C) } x^2 \\ \text{D) } x^{-2} & \text{E) } 1 \end{array} $$

Resuelve el sistema:
\begin{cases} x + y = 5 \\ x^4 + y^4 = 97 \end{cases}

Si los términos de lugares $m, n, p, k$ de una P.G. son, $a, b, c$ y $\sqrt[k]{abc}$, respectivamente. Calcular:
$$E = \sqrt[n+p-2m]{\frac{bc}{a^2}} + \sqrt[m+p-2n]{\frac{ac}{b^2}} + \sqrt[m+n-2p]{\frac{ab}{c^2}}$$
si la razón es $t$.

a) $t$      b) $2t$      c) $3t$      d) $\frac{t}{3}$      e) $\frac{2t}{3}$

Demostrar que:
$$\arcsen \frac{4}{5} + \arcsen \frac{5}{13} + \arcsen \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$$

Dada la expresión algebraica:
$$A = \frac{1 + (m + n)^{-1}}{1 - (m + n)^{-1}} \cdot \left[ 1 - \frac{m^2 + n^2}{2mn} \right]$$
Determine su valor numérico simplificado cuando se cumple que $n = \frac{1}{m - 1}$.

Paso 1:
La suma de los tres términos de una P.G. es 124 y dichos términos forman el primero, segundo y séptimo termino de una P.A. Halle la razón y el tercer termino de la progresión aritmética.