Aprende con Inteligencia

Si $n \geqslant 2$, demuestre que:
$$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$$

Paso 1:
607. Hay tres aleaciones, la primera contiene $60\%$ de aluminio, $15\%$ de cobre y $25\%$ de magnesio; la segunda contiene $30\%$ de cobre y $70\%$ de magnesio; y la tercera contiene $45\%$ de aluminio y $55\%$ de magnesio. Las aleaciones deben combinarse para preparar una nueva aleación que contenga $20\%$ de cobre. ¿Cuáles son los porcentajes mínimo y máximo de aluminio que la nueva aleación podría tener?

Resolver la ecuación y hallar una de sus raíces:
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = b^2 + \frac{1}{b^2} $$

$$ \begin{array}{lllll} \text{a) } b^2 & \text{b) } 1/b & \text{c) } 1/b^2 & \text{d) } -b^2 & \text{e) } -1/b^2 \end{array} $$

Dar el valor de $x$, al resolver el sistema:
$$ \begin{cases} (ax)^{\log a} - (by)^{\log b} = 0 & (I) \\ b^{\log x} = a^{\log y} & (II) \end{cases} $$
(donde $\log \equiv \log_{10}$).

Opciones:
$$ \begin{array}{lllll} \text{(A) } 2b & \text{(B) } 2a & \text{(C) } ab & \text{(D) } \frac{1}{a} & \text{(E) } \frac{1}{b} \end{array} $$

Racionalice el denominador de la siguiente fracción:
$$ \frac{1}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{7}} $$

Resolver:
$$ \frac{(x + 2)(x - 4)}{7(x + 3)(x - 5)} - \frac{(x + 4)(x - 7)}{12(x + 5)(x - 8)} = \frac{5}{84} $$

a) $10$      b) $25$      c) $15$      d) $18$      e) $12$

Paso 1:
La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente es igual a $4$, y la suma de sus términos elevados al cubo es igual a $192$. Hallar el primer término y la razón común de la progresión.

Efectuar la simplificación de:
$$ \frac{\sqrt[6]{b^5} - \sqrt[6]{a^2b^3} + \sqrt[6]{a^3b^2} - \sqrt[6]{a^5}}{\sqrt[6]{b} + \sqrt[6]{a}} \left( \frac{\sqrt[6]{ab^9} + \sqrt[6]{a^{10}}}{a - \sqrt{ab} + b} \right)^{-1} + 1 $$

Demostrar que para cualesquiera números reales $a$, $b$ y $c$, se cumple la siguiente desigualdad:
$$ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + ac + bc $$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} 4x^2 - 3xy - y^2 = 0 \\ 32x^2 - 36xy + 9y^2 = 6 \end{cases} $$

Calcule la suma de los infinitos términos dados por:
$$ \frac{1}{7} + \frac{2}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \frac{2}{7^4} + \frac{1}{7^5} + \frac{2}{7^6} + \dots $$
\text{Resp. } S = \frac{3}{16}

20. Calcular el valor de $x$ al resolver el sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x + y + z = 0 & (1) \\ (b + c)x + (a + c)y + (a + b)z = 0 & (2) \\ bcx + acy + abz = 1 & (3) \end{cases} $$

$$ \begin{array}{lll} \text{(a) } \frac{1}{(a - b)(a - c)} & \text{(b) } \frac{1}{(b - a)(b - c)} & \text{(c) } \frac{1}{(a - c)(b - c)} \\ \text{(d) } \frac{a}{(b - a)(b - c)} & \text{(e) } \frac{b}{(b - a)(b - c)} & \end{array} $$