Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Muestre que $y = (a_1 - x)^2 + (a_2 - x)^2 + \cdots + (a_n - x)^2$ tiene un mínimo relativo cuando $x = (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)/n$.

Si $y = \left( \frac{1}{2^{n-1}} \right) \cos(n \cos^{-1} x)$, demuestre que $y$ satisface la ecuación diferencial:
$$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + n^2 y = 0$$

Paso 1:
Encuentre las coordenadas del vértice $v$ de la parábola $y = x^2 - 4x + 1$ haciendo uso del hecho de que en el vértice la pendiente de la recta tangente es cero.

Paso 1:
¿En qué punto del primer cuadrante de la parábola $y = 4 - x^2$, la tangente, junto con los ejes coordenados, determina un triángulo de área mínima?

Paso 1:
Se desea construir una caja rectangular abierta con extremos cuadrados para contener $6400 \text{ ft}^3$ a un costo de $\$0.75/\text{ft}^2$ para la base y $\$0.25/\text{ft}^2$ para los lados. Hallar las dimensiones más económicas.

Paso 1:
Un globo se eleva verticalmente sobre un punto $A$ en el suelo a razón de $15\text{ pies/seg}$. Un punto $B$ en el suelo está al mismo nivel y a $30\text{ pies}$ de $A$. Cuando el globo está a $40\text{ pies}$ de $A$, ¿a qué razón cambia su distancia desde $B$?

Graficar realizando un análisis de máximos y mínimos:
$$f(x) = \sqrt[3]{6x - x^2}$$

Demostrar: El punto de contacto de una tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de la tangente comprendido entre las asíntotas.

\begin{solucion}
Para simplificar la demostración sin pérdida de generalidad, utilizaremos la ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas como ejes coordenados, cuya ecuación es $xy = c^2$. En este sistema, las asíntotas son los ejes $x$ e $y$.

1. Datos del problema:

• Ecuación de la hipérbola: $y = \frac{c^2}{x}$
• Punto de tangencia: $P_0(x_0, y_0)$, donde $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$.
• Asíntotas: Rectas $x = 0$ (eje $y$) y $y = 0$ (eje $x$).

2. Pendiente de la tangente:
Derivamos la función $y = c^2 x^{-1}$ con respecto a $x$:
$$ \frac{dy}{dx} = -c^2 x^{-2} = -\frac{c^2}{x^2} $$
En el punto $P_0(x_0, y_0)$, la pendiente $m$ es:
$$ m = -\frac{c^2}{x_0^2} $$

3. Ecuación de la recta tangente:
Usando la forma punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$:
$$ y - \frac{c^2}{x_0} = -\frac{c^2}{x_0^2}(x - x_0) $$
Multiplicando toda la ecuación por $x_0^2$:
$$ x_0^2 y - x_0 c^2 = -c^2 x + x_0 c^2 \implies c^2 x + x_0^2 y = 2x_0 c^2 $$
Dividiendo entre $c^2$:
$$ x + \frac{x_0^2}{c^2} y = 2x_0 $$
Como $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$, entonces $\frac{x_0}{y_0} = \frac{x_0^2}{c^2}$. Sustituyendo:
$$ x + \frac{x_0}{y_0} y = 2x_0 \implies \frac{x}{2x_0} + \frac{y}{2y_0} = 1 $$

4. Intersecciones con las asíntotas:

• Intersección con el eje $x$ ($y=0$): $A(2x_0, 0)$.
• Intersección con el eje $y$ ($x=0$): $B(0, 2y_0)$.

5. Punto medio del segmento $AB$:
Calculamos el punto medio $M$ del segmento comprendido entre las asíntotas:
$$ M = \left( \frac{2x_0 + 0}{2}, \frac{0 + 2y_0}{2} \right) = (x_0, y_0) $$
El punto medio $M$ coincide exactamente con el punto de contacto $P_0$.

$$ \boxed{M = P_0(x_0, y_0)} $$
\end{olucion}

Paso 1:
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y que corta del primer cuadrante un triángulo de área mínima.

Paso 1:
Encuentre el cambio en la superficie total de un cono circular recto cuando (a) el radio permanece constante mientras la altura cambia en una cantidad pequeña; (b) la altura permanece constante mientras el radio cambia en una cantidad pequeña.

Paso 1:
Halle la pendiente de la curva $y = \frac{4}{x + 1}$ en el punto $x = 1$.

Paso 1:
Examine $y = x^3 - 3px + q$ para valores máximos y mínimos relativos.