Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde de un techo de tal manera que finalmente cae a la calle $112\text{ ft}$ abajo. Si se mueve de modo que su distancia $s$ desde el techo al tiempo $t$ viene dada por $s = 96t - 16t^2$, encuentre: (a) la posición de la pelota, su velocidad y la dirección del movimiento cuando $t = 2$, y (b) su velocidad cuando choca con la calle. ($s$ está en pies y $t$ en segundos).

Paso 1:
¿En qué puntos de la curva $y = 2x^3 + 13x^2 + 5x + 9$ su tangente pasa por el origen?

En el siguiente problema, encuentre $\frac{ds}{dx}$ y $\frac{ds}{dy}$ para la ecuación:
$$ y^2 = x^3 $$

Paso 1:
Tres lados de un trapecio tienen la misma longitud de $20 \text{ cm}$. De todos los trapecios con esa condición, probar que el de área máxima tiene su cuarto lado de longitud $40 \text{ cm}$. Hallar el área máxima.

Sea \( f(x) \) una función tal que \( f(0) = f'(0) = 0 \), \( f''(x) = \sec^4 x + 4 \), la función es:

(a) \( \log(\sin x) + \frac{1}{3} \tan^3 x + cx \)

(b) \( \frac{2}{3} \log(\sec x) + \frac{1}{6} \tan^2 x + 2x^2 \)

(c) \( \log(\cos x) + \frac{1}{6} \cos^2 x + \frac{x^2}{5} \)

(d) none.

Hallar la derivada de la función:
$$ y = x[\sin(\ln x) - \cos(\ln x)] $$

Sea $y(x) = \cos(3\cos^{-1}x)$ para $x \in [-1, 1]$ con $x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Calcule el valor de la expresión:
$$ \frac{1}{y(x)} \left\{ (x^2 - 1) \frac{d^2y(x)}{dx^2} + x \frac{dy(x)}{dx} \right\} $$

Calcular el valor del siguiente límite:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{(e+h)^{\ln(e+h)} - e}{h} $$

Paso 1:
Suponga $f(x) = e^{ax} + e^{bx}$, donde $a \neq b$, y que $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ para todo $x$. Entonces el valor de $|ab|$ es:

Paso 1:
Demuestre que el ángulo de intersección de las curvas $y = \ln(x - 2)$ y $y = x^2 - 4x + 3$ en el punto $(3, 0)$ es $\phi = \arctan \frac{1}{3}$.

Paso 1:
Hallar la distancia mínima desde el punto $(4, 2)$ a la parábola $y^2 = 8x$.

Encuentre la derivada $dy/dx$ para la función:
$$ y = \sin x - x \cos x + x^2 + 4x + 3 $$