Aprende con Inteligencia

Si $y = \frac{ax^2}{(x-a)(x-b)(x-c)} + \frac{bx}{(x-b)(x-c)} + \frac{c}{x-c} + 1$, demuestre que:
$$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} \left( \frac{a}{a-x} + \frac{b}{b-x} + \frac{c}{c-x} \right)$$

Encuentre la derivada $dy/dx$ para la función:
$$ y = \sin x - x \cos x + x^2 + 4x + 3 $$

Paso 1:
Demuestre: Si $f''(x_0) = 0$ y $f'''(x_0) \neq 0$, entonces hay un punto de inflexión en $x = x_0$.

Paso 1:
Hallar las dimensiones del cono de volumen mínimo que se puede circunscribir a una semi-esfera de radio $R$ (ejes de cono y semi-esfera son coincidentes).

Paso 1:
Halle la altura de un prisma triangular regular recto de volumen máximo, que se puede inscribir en una esfera de radio $R$.

Paso 1:
Suponga que $f(0) = 0$ y $f'(0) = 2$, y sea $g(x) = f(-x + f(f(x)))$. El valor de $g'(0)$ es igual a:

Probar:
(a) La suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ es una constante.
(b) La suma de los cuadrados de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ es una constante.

Una función está representada paramétricamente por las ecuaciones:
$$ x = \frac{1+t}{t^3} ; \quad y = \frac{3}{2t^2} + \frac{2}{t} $$
Entonces el valor de $\left| \frac{dy}{dx} - x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 \right|$ es:

Hallar la ecuación de la evoluta de:
(a) $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$
(b) $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$
(c) $x = 2 \cos t + \cos 2t$, $y = 2 \sin t + \sin 2t$

Cuando $s$ se mide en pies y $t$ en segundos, encuentre la velocidad en el tiempo $t = 2$ de los siguientes movimientos:
(a) $s = t^2 + 3t$
(b) $s = t^3 - 3t^2$
(c) $s = \sqrt{t + 2}$

Sea $y(x) = \cos(3\cos^{-1}x)$ para $x \in [-1, 1]$ con $x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Calcule el valor de la expresión:
$$ \frac{1}{y(x)} \left\{ (x^2 - 1) \frac{d^2y(x)}{dx^2} + x \frac{dy(x)}{dx} \right\} $$

Paso 1:
Una placa circular se expande bajo la influencia del calor de modo que su radio aumenta de 5 pulg a 5.06 pulg. Encuentre el aumento aproximado en el área.