Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Hallar las dimensiones del cono de volumen mínimo que se puede circunscribir a una semi-esfera de radio $R$ (ejes de cono y semi-esfera son coincidentes).

Paso 1:
Sea $z = (\cos x)^5$ y $y = \sin x$. Entonces el valor de $2 \frac{d^2z}{dy^2}$ en $x = \frac{2\pi}{9}$ es:

Paso 1:
Si el ángulo de elevación del sol es $45^\circ$ y está disminuyendo a razón de $\frac{1}{4}$ rad/h, ¿con qué rapidez está aumentando la longitud de la sombra proyectada sobre el suelo por un poste de 50 pies de altura?

Paso 1:
Dada la función $y = \frac{5x}{\sqrt[3]{(1 - x)^2}} + \cos^2(2x + 1)$, encontrar $\frac{dy}{dx}$.

Paso 1:
Demuestre que el triángulo equilátero de altura $3r$ es el triángulo isósceles de área mínima que circunscribe a un círculo de radio $r$.

En el siguiente problema, encuentre $\frac{ds}{dx}$ y $\frac{ds}{dy}$ para la ecuación:
$$ y^2 = x^3 $$

Resuelva los siguientes incisos teóricos:

• [a)] Si $f(x)$ es continua y está definida en $]-2,3[$, ¿Se puede asegurar que existen máximos y mínimos locales (relativos) en el intervalo?. Explique.
• [b)] Analice si $f(x) = x^{2/3}$ cumple o no el teorema de Rolle en el intervalo $[-1,1]$.
• [c)] ¿En qué puntos no es derivable $f(x) = |9 - x^2|$?. Explique.
• [d)] Dé un ejemplo de una función que tenga punto de inflexión en $x_0 = 2$.

Paso 1:
El barco $A$ está a $15 \text{ mi}$ al este de $O$ y se mueve hacia el oeste a $20 \text{ mi/h}$; el barco $B$ está a $60 \text{ mi}$ al sur de $O$ y se mueve hacia el norte a $15 \text{ mi/h}$. (a) ¿Se aproximan o se separan después de $1 \text{ h}$ y a qué ritmo? (b) ¿Después de $3 \text{ h}$? (c) ¿Cuándo se encuentran a la mínima distancia el uno del otro?

¿En qué puntos de la curva $y = x^3 + 5$ su tangente es:
(a) paralela a la recta $12x - y = 17$?
(b) perpendicular a la recta $x + 3y = 2$?

Paso 1:
Examine $y = x^3 - 3px + q$ para valores máximos y mínimos relativos.

Paso 1:
Halle la pendiente de la curva $y = \frac{4}{x + 1}$ en el punto $x = 1$.

Si $x = \csc \theta - \sin \theta$ y $y = \csc^n \theta - \sin^n \theta$, demuestre que:
$$ (x^2 + 4) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = n^2(y^2 + 4) $$