Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si el ángulo de elevación del sol es $45^\circ$ y está disminuyendo a razón de $\frac{1}{4}$ rad/h, ¿con qué rapidez está aumentando la longitud de la sombra proyectada sobre el suelo por un poste de 50 pies de altura?

Paso 1:
Se extrae agua de un depósito cónico de $3\text{ ft}$ de radio y $10\text{ ft}$ de profundidad a razón de $4\text{ ft}^3/\text{min}$. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de $6\text{ ft}$? ¿Con qué rapidez disminuye el radio de la superficie en ese momento?

Paso 1:
Una solución pasa a través de un filtro cónico de $24 \text{ in}$ de profundidad y $16 \text{ in}$ de ancho en la parte superior, hacia un recipiente cilíndrico de diámetro $12 \text{ in}$. ¿A qué velocidad sube el nivel de la solución en el cilindro si, cuando la profundidad de la solución en el filtro es de $12 \text{ in}$, su nivel baja a razón de $1 \text{ in/min}$?

Paso 1:
Encontrar los valores "a", "b", "c" y "d" de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ de manera que tenga un punto de inflexión en $(1, -1)$, un extremo relativo en el punto $(0, 3)$. Luego analizar la función (crecimiento, concavidad) y dibujar la gráfica.

Hallar el radio de curvatura $\rho$ de:
(a) $x^3 + xy^2 - 6y^2 = 0$ en $(3, 3)$.
(b) $x = a \operatorname{sech}^{-1}(y/a) - \sqrt{a^2 - y^2}$ en $(x, y)$.
(c) $x = 2a \tan \theta$, $y = a \tan^2 \theta$.
(d) $x = a \cos^4 \theta$, $y = a \sin^4 \theta$.

Paso 1:
La función $f(x) = \frac{x-1}{ax^2 + bx + c}$ tiene un punto de inflexión en $(-2, -1)$ y un extremo relativo en $x = 1 + \sqrt{3}$. Halle $a, b, c$.

Paso 1:
Si $y = \frac{a + bx^{3/2}}{x^{5/4}}$ y $y' = 0$ en $x = 5$, entonces el valor de $a^2/b^2$ es:

Paso 1:
Investigue la posibilidad de inscribir un cilindro circular recto de área total máxima en un cono circular recto de radio $r$ y altura $h$.

Derivar la siguiente expresión:
$$ y = x \ln(4 + x^2) + 4 \arctan\left(\frac{1}{2}x\right) - 2x $$

Paso 1:
El producto de dos números positivos es $16$. Hallar los números $(a)$ si su suma es mínima; $(b)$ si la suma de uno y el cuadrado del otro es mínima.

Discutir y bosquejar en el intervalo $0 \leq x < 2\pi$:
(a) $y = \frac{1}{2} \sin 2x$
(b) $y = \cos^2 x - \cos x$
(c) $y = x - 2 \sin x$
(d) $y = \sin x (1 + \cos x)$
(e) $y = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$

Examine cada uno de los siguientes movimientos en línea recta:
(a) $s = t^3 - 9t^2 + 24t$;
(b) $s = t^3 - 3t^2 + 3t + 3$;
(c) $s = 2t^3 - 12t^2 + 18t - 5$;
(d) $s = 3t^4 - 28t^3 + 90t^2 - 108t$.
Determine en qué instantes se detiene la partícula y si existe cambio de dirección.