Aprende con Inteligencia

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es/son verdadera(s)?
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (0, \pi), \text{ es } -1 & \text{b. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (\pi, 2\pi), \text{ es } 1 \\ \text{c. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \text{ es } -1 & \text{d. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), \text{ es } -1 \end{array} $$

Si $y^2 = ax^2 + bx + c$, entonces $y^3 \frac{d^2y}{dx^2}$ es:

a. una constante      b. una función de $x$ solamente      c. una función de $y$ solamente      d. una función de $x$ y $y$

Responda de forma justificada a las siguientes interrogantes conceptuales:

1. [a)] ¿Puede un punto de máximo ser también un punto de inflexión? Explique.
2. [b)] ¿Puede un punto de máximo relativo ser también punto de máximo absoluto? Explique.
3. [c)] Enuncie el Teorema de Rolle, haga un ejemplo.
4. [d)] $f(x) = |x + 3|$; ¿el punto $x = -3$ es Punto Crítico? Explique.

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\right)\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{8} + x\right)\right) dx$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \cos x \cdot \cos(\sin x) \cdot \cos(\sin(\sin x)) \, dx$$

Paso 1:
Si $f(9) = 9$ y $f'(9) = 4$, entonces el valor de $\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{f(x)} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ es:

Si $u = f(x^3)$, $v = g(x^2)$, $f'(x) = \cos x$, y $g'(x) = \sin x$, entonces $\frac{du}{dv}$ es:

a. $\frac{3}{2} x \cos x^3 \csc x^2$      b. $\frac{2}{3} \sin x^3 \sec x^2$      c. $\tan x$      d. ninguna de estas

Sea $f(x) = x - x^3$, $x \in [-2, 2]$.

• [a)] Halle las constantes $m$ y $b$ de modo que la recta $y = mx + b$ sea tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1, 0)$.
• [b)] Si una segunda recta que pasa por $(-1, 0)$ es también tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, c)$, determine las coordenadas de $a$ y $c$.

Suponga que $f(x) = e^{ax} + e^{bx}$, donde $a \neq b$, y que $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ para todo $x$. Entonces el producto $ab$ es:

a. 25 \\
b. 9 \\
c. -15 \\
d. -9

5.- (20 Pts) Hallar las dimensiones y el área del mayor rectángulo, que tiene uno de sus lados sobre la recta $x=9$ y los vértices del lado opuesto sobre la curva:
$$x + 4y = y^2 + 7$$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin(x + a)}{\sin(x + b)} dx $$

Paso 1:
Se tiene una tela de $5\text{ m}$ de largo y $75\text{ pulgadas}$ de ancho. Se requiere doblar una de las esquinas de tal forma que esta coincida con el lado opuesto. Encontrar el ángulo bajo el cual se dobla una de las esquinas si el área formada por el trazo de tela doblada es la mínima.