Aprende con Inteligencia

Paso 1:
32. $y = \frac{\ln x^2}{x^2}$

Sea $f(x) = \begin{vmatrix} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{vmatrix}$, donde $p$ es una constante.
Entonces el valor de $\frac{d^3}{dx^3} (f(x))$ en $x = 0$ es:

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } p & \text{b. } p - p^3 & \text{c. } p + p^3 & \text{d. } \text{independiente de } p \end{array} $$

Paso 1:
Para $f(x)$ una función inyectiva, halle el valor de: $N = f^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + f^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)$ si se conoce que: $f\left(x - \frac{1}{x}\right) = \frac{x^6 - 1}{x^5 + x}$

Paso 1:
47. Si $y = x^2 e^x$, demostrar que $y''' = (x^2 + 6x + 6)e^x$.

Hallar $dy/dx$ para la función:
45. $y = \tan^2 e^{3x}$

La primera derivada de la función
$$ f(x) = \left[ \cos^{-1} \left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) + x^x \right] $$
con respecto a $x$ en $x = 1$ es:

1. $3/4$
2. $0$
3. $1/2$
4. $-1/2$

Si $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2}$; $(g \circ h)(x) = \frac{x+4}{x}$; $g(x) = \frac{x}{x-1}$. Hallar la expresión reducida de:
$$(f \circ g^{-1} \circ h^{-1})(\text{sen} 3x)$$

Si $y = \sin x + e^x$, entonces $\frac{d^2x}{dy^2} =$

a. $(-\sin x + e^x)^{-1}$      b. $\frac{\sin x - e^x}{(\cos x + e^x)^2}$      c. $\frac{\sin x - e^x}{(\cos x + e^x)^3}$      d. $\frac{\sin x + e^x}{(\cos x + e^x)^3}$

Derivar la función:
$$ f(x) = (3x - x^3 + 1)^4 $$

Si $g$ es la función inversa de $f$ y $f'(x) = \sin x$, entonces $g'(x)$ es:

1. [a.] $\csc\{g(x)\}$
2. [b.] $\sin\{g(x)\}$
3. [c.] $\frac{1}{\sin\{g(x)\}}$
4. [d.] Ninguna de las anteriores

Si $f(x) = x + \tan x$ y $f$ es la inversa de $g$, entonces $g'(x)$ es igual a:

a. $\displaystyle \frac{1}{1+[g(x)-x]^2}$      b. $\displaystyle \frac{1}{2-[g(x)-x]^2}$      c. $\displaystyle \frac{1}{2+[g(x)-x]^2}$      d. ninguna de estas

Paso 1:
A partir de $\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$, demuestre que $\displaystyle \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ y $\displaystyle \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{3(y'')^2 - y'y'''}{(y')^5}$.