Aprende con Inteligencia

Sea $f(x) = x - x^3$, $x \in [-2, 2]$.

• [a)] Halle las constantes $m$ y $b$ de modo que la recta $y = mx + b$ sea tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1, 0)$.
• [b)] Si una segunda recta que pasa por $(-1, 0)$ es también tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, c)$, determine las coordenadas de $a$ y $c$.

Calcule $y''$ en la siguiente expresión:
$$\arcsin\left( \frac{\sqrt{x^2+y^2}-2y}{y} \right) + \arctan\left( \frac{\sqrt{x^2+y^2}+2y}{y} \right) + \ln\left( \sqrt[6]{\sqrt{x^2+y^2}-6y} \right) = \ln(\sqrt[6]{y})$$

Si $y = \frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es igual a:

1. $\frac{ay}{x\sqrt{a^2-x^2}}$
2. $\frac{ay}{\sqrt{a^2-x^2}}$
3. $\frac{ay}{x\sqrt{x^2-a^2}}$
4. ninguna de estas

Si $y = e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es igual a:

$$ \begin{array}{llll} \text{a) } \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} & \text{b) } \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2x} & \text{c) } \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{y^2 - 4} & \text{d) } \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{y^2 + 4} \end{array} $$

Paso 1:
Para $f(x)$ una función inyectiva, halle el valor de: $N = f^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + f^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)$ si se conoce que: $f\left(x - \frac{1}{x}\right) = \frac{x^6 - 1}{x^5 + x}$

La derivada de $y = (1-x)(2-x)\cdots(n-x)$ en $x = 1$ es:

• [a.] $0$
• [b.] $(-1)(n-1)!$
• [c.] $n! - 1$
• [d.] $(-1)^{n-1}(n-1)!$

Sea $f(\theta) = \sin \left( \tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) \right)$, donde $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$.
Entonces el valor de $\frac{d}{d(\tan \theta)} (f(\theta))$ es:

Si $y\sqrt{x^2+1} = \log(\sqrt{x^2+1} - x)$, entonces el valor de $(x^2+1)\frac{dy}{dx} + xy + 1$ es:

a. $0$      b. $1$      c. $2$      d. ninguna de estas

Si $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2}$; $(g \circ h)(x) = \frac{x+4}{x}$; $g(x) = \frac{x}{x-1}$. Hallar la expresión reducida de:
$$(f \circ g^{-1} \circ h^{-1})(\text{sen} 3x)$$

Hallar la derivada $y'$ de la función:
$$ y = (3 + 4x - x^2)^{1/2} $$
Expresar el resultado en términos de $y$.

Hallar la expresión abreviada de $y''$ si se conoce:
$$\ln\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+3y^2}\right) + \arctan\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = 8$$

Si $x \in (0, \pi/2)$, demuestre que:
$$\frac{d}{dx} \cos^{-1} \left\{ \frac{7}{2}(1 + \cos 2x) + \sqrt{(\sin^2 x - 48 \cos^2 x)} \sin x \right\} = 1 + \frac{7 \sin x}{\sqrt{\sin^2 x - 48 \cos^2 x}}$$