Aprende con Inteligencia

i) Calcular el dominio de la función:
$$f(x) = \ln(x+2) - \ln(2x-3)$$

Si $\alpha$ es una raíz repetida de una ecuación cuadrática $f(x) = 0$ y $A(x)$, $B(x)$ y $C(x)$ son polinomios de grado 3, 4 y 5, respectivamente, demuestre que el determinante:
$$ \Delta(x) = \begin{vmatrix} A(x) & B(x) & C(x) \\ A(\alpha) & B(\alpha) & C(\alpha) \\ A'(\alpha) & B'(\alpha) & C'(\alpha) \end{vmatrix} $$

Si $y = \tan^{-1} \left( \frac{2^x}{1 + 2^{2x+1}} \right)$, entonces $\frac{dy}{dx}$ en $x = 0$ es:

1. [a.] $1$
2. [b.] $2$
3. [c.] $\ln 2$
4. [d.] ninguno de estos

En los problemas 33 a 36, encontrar $dy/dx$.
33. $y = \sinh^{-1} \left( \frac{1}{2}x \right)$

Determinar los valores de $x$ para los cuales la función es continua o discontinua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 27\operatorname{sgn}(x-1)}{x^3 + 3x^2 + 3x - 9 \lfloor \frac{x}{9} \rfloor} & ; -5 < x < 0 \wedge x \neq -3 \\ \frac{x^2-9}{x^2-2x-3} & ; 0 \le x < 5 \wedge x \neq 3 \\ \frac{9}{4} & ; x = -3 \\ \frac{3}{2} & ; x = 3 \end{cases}$$

Si $y = x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dots \infty}}}$, entonces $\dfrac{dy}{dx}$ es:

1. [a.] $\dfrac{2xy}{2y-x^2}$
2. [b.] $\dfrac{xy}{y+x^2}$
3. [c.] $\dfrac{xy}{y-x^2}$
4. [d.] $\dfrac{2xy}{2 + x^2/y}$

Paso 1:
50. $y = 1/\sqrt{x}$; hallar $y^{(iv)}$

Hallar $(f \circ g)(x)$ si:
$$f(x)=\begin{cases} x^2 & ; \quad -4 \le x < -1 \\ 5x+4 & ; \quad -1 \le x < 2.25 \end{cases}$$
$$g(x)=\begin{cases} 2x-4 & ; \quad -2.25 \le x < 1 \\ x^2+1 & ; \quad 1 \le x < 4 \end{cases}$$

Halle el valor reducido de la expresión $(y')^2 + y \cdot y''$ para la curva:
$$C: \begin{cases} x = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \\ y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \end{cases}$$

Paso 1:
Dada la función $f(x) = \sqrt{x - 5}$, determine su función inversa $x = f^{-1}(y)$ y calcule la derivada $\frac{dx}{dy}$.

Después de graficar $(f \circ g)(x)$ hallar su función inversa, donde:
$$f(x) = \sqrt{x} \quad ; \quad g(x) = x - \lfloor x \rfloor$$
En el intervalo $0 \leq x \leq 5$.

Paso 1:
Si $y = f(x)$ es una función impar y diferenciable definida en $(-\infty, \infty)$ tal que $f'(3) = -2$, determine el valor de $|f'(-3)|$.