Aprende con Inteligencia

Sea $f(x) = 2 + \cos x$ para todo $x$ real.
Afirmación 1: Para cada $t$ real, existe un punto $c$ en $[t, t + 2\pi]$ tal que $f'(c) = 0$ porque
Afirmación 2: $f(t) = f(t + 2\pi)$ para cada $t$ real.

$$ \begin{array}{ll} \text{a. } & \text{La Afirmación 1 es verdadera, la Afirmación 2 es verdadera; la Afirmación 2 es una explicación correcta para la Afirmación 1.} \\ \text{b. } & \text{La Afirmación 1 es verdadera, la Afirmación 2 es verdadera; la Afirmación 2 no es una explicación correcta para la Afirmación 1.} \\ \text{c. } & \text{La Afirmación 1 es verdadera, la Afirmación 2 es falsa.} \\ \text{d. } & \text{La Afirmación 1 es falsa, la Afirmación 2 es verdadera.} \end{array} $$

Paso 1:
Demuestre que las líneas tangentes a las curvas $5y - 2x + y^3 - x^2y = 0$ y $2y + 5x + x^4 - x^3y^2 = 0$ en el origen se intersecan en ángulo recto.

Encuentre la derivada de:
$$ y = \left( \frac{x^3 - 1}{2x^3 + 1} \right)^4 $$

Graficar la función $f(x)$, definida por secciones:
$$f(x) = \begin{cases} \lfloor \frac{x}{2} \rfloor & ; \quad x \le -3 \\ x+3 & ; \quad -3 < x < 0 \\ \lceil x-1 \rceil & ; \quad 0 \le x \le 3 \\ \text{sgn}(x-4) & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

5. (20\%) Hallar la derivada de "n-ésimo" orden en la función:
$$y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$$

Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, demuestre que:
(a) $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2$
(b) $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^3u}{dx^3} + 3 \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3$

Calcular la derivada de la función:
$$ y = \cos(1 - x)^2 $$

Considera todas las funciones $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tales que:
(i) para cada entero positivo $m$, existe un único entero positivo $n$ tal que $f(n) = m$;
(ii) para cada entero positivo $n$, tenemos $f(n+1)$ es o bien $4f(n)-1$ o $f(n)-1$.
Halla el conjunto de enteros positivos $p$ tales que $f(1999) = p$ para alguna función $f$ con las propiedades (i) y (ii).

Hallar la derivada de la función implícita:
$$ x \cos y = \sin(x + y) $$

2. Afirmación 1: Si $f(x)$ es una función impar, entonces $f'(x)$ es una función par.
Afirmación 2: Si $f'(x)$ es una función par, entonces $f(x)$ es una función impar.

Si $x \in (0, \pi/2)$, demuestre que:
$$\frac{d}{dx} \cos^{-1} \left\{ \frac{7}{2}(1 + \cos 2x) + \sqrt{(\sin^2 x - 48 \cos^2 x)} \sin x \right\} = 1 + \frac{7 \sin x}{\sqrt{\sin^2 x - 48 \cos^2 x}}$$

Determine la expresión equivalente para la segunda derivada de $x$ con respecto a $y$, es decir, $\frac{d^2x}{dy^2}$.

$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^{-1} & \text{(b) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \\ \text{(c) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} & \text{(d) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \end{array} $$