Aprende con Inteligencia

Determinar la función suma $(f+g)(x)$ dadas las siguientes funciones:
$$f(x) = \lfloor x \rfloor + 3 + |2x| \quad ; \quad x \in ]-1, 1[$$
$$g(x) = \begin{cases} \lfloor \frac{x+6}{2} \rfloor & ; \quad x \in ]-2, 0[ \\ x^2 - \lfloor x \rfloor & ; \quad x \in [0, 1[ \end{cases}$$

Paso 1:
Si $f(x) = \cos(x) \sin(x)$, evalúe la derivada de orden 2023 en el punto $x = 0$, es decir, $f^{(2023)}(0)$.

Si se conocen: $f\left( \frac{2}{x^2} \right) = \frac{2x^2-6}{x^2}$ y $g^{-1}(2x+1) = \frac{x}{3x-2}$. Deducir la expresión reducida de:
$$(g \circ f^{-1} \circ g^{-1})_{(|x|)}$$

Paso 1:
A partir de $\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$, demuestre que $\displaystyle \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ y $\displaystyle \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{3(y'')^2 - y'y'''}{(y')^5}$.

Suponga que la función $g(x) = f(x) - f(2x)$ tiene derivada $5$ en $x=1$ y derivada $7$ en $x=2$. La derivada de la función $h(x) = f(x) - f(4x)$ en $x=1$ tiene el valor igual a:

a. 19      b. 9      c. 17      d. 14

Encuentre $y'$ en:
$$y = \ln\left( \frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}} \right) + 2 \arctan(\sqrt{\sin x})$$

Si $f(x) = \arcsin(\cos x)$, entonces el valor de $f(10) + f'(10)$ es:

a. $11 - \frac{7\pi}{2}$      b. $\frac{7\pi}{2} - 11$      c. $\frac{5\pi}{2} - 11$      d. ninguno de estos

Paso 1:
Tengo cuatro hijos. La edad en años de cada hijo es un entero positivo entre 2 y 16 inclusive y las cuatro edades son distintas. Hace un año, el cuadrado de la edad del hijo mayor era igual a la suma de los cuadrados de las edades de los otros tres. Dentro de un año, la suma de los cuadrados de las edades del mayor y el menor será igual a la suma de los cuadrados de los otros dos hijos. Decide si esta información es suficiente para determinar sus edades de forma única y encuentra todas las posibilidades para sus edades.

Paso 1:
Para la función: $f(x) = \ln(x-3) - \ln(x)$ indique el dominio y el rango.

Paso 1:
Una partícula se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación $s = t^3 - 6t^2 + 9t$, donde las unidades son pies y segundos. Ubique la partícula con respecto a su posición inicial ($t = 0$) en $O$, encuentre su dirección y velocidad, y determine si su rapidez está aumentando o disminuyendo cuando (a) $t = \frac{1}{2}$, (b) $t = \frac{3}{2}$, (c) $t = \frac{5}{2}$, (d) $t = 4$.

Si $x = \phi(t)$ y $y = \psi(t)$, entonces $\frac{d^2y}{dx^2}$ es:

1. [a.] $\frac{\phi' \psi'' - \psi' \phi''}{(\phi')^2}$
2. [b.] $\frac{\phi' \psi'' - \psi' \phi''}{(\phi')^3}$
3. [c.] $\frac{\phi''}{\psi''}$
4. [d.] $\frac{\psi''}{\phi''}$

Resolver la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \left( 1 - \frac{2}{x} \right) x^{\sqrt{3}} e^x dx $$