Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Hallar una expresión para la derivada $n$-sima de la función: $f(x) = 3x e^{-2x}$

Resolver los siguientes incisos teóricos y prácticos:
a) Enuncie las hipótesis y tesis del teorema de Rolle.
b) Si $f(x) = -\frac{1}{x}$ por definición según límite, probar que $f'(1) = 1$.
c) Si $f(x+2\pi) = \sin x$ hallar el valor abreviado de $f'(f(2\pi))$.
d) Anote un ejemplo de una función continua, pero no derivable en $x_0 = 3$.

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = \sqrt{1 + u}$, $u = \sqrt{x}$

Encuentre $y'$ en:
$$y = \ln\left( \frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}} \right) + 2 \arctan(\sqrt{\sin x})$$

Encuentre la derivada $dy/dx$ para la función:
$$ y = 4 \tan 5x $$

Paso 1:
Pruebe que cualquier tangente a una parábola, excepto en el vértice, intersecta a la directriz y al lado recto (prolongado si es necesario) en puntos equidistantes del foco.

Demostrar que:
$$\log_2 3 + \log_3 2 > 2$$

Determine la expresión equivalente para la segunda derivada de $x$ con respecto a $y$, es decir, $\frac{d^2x}{dy^2}$.

$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^{-1} & \text{(b) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \\ \text{(c) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} & \text{(d) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \end{array} $$

Graficar la función $f(x)$ si:
$$f(x) = \begin{cases} \left| \lfloor x-1 \rfloor - 2 \right| & ; \quad x \in [-5, -1[ \\ \sqrt{\lfloor x+1 \rfloor} - |x| + 3 & ; \quad x \in [-1, 3[ \\ \sqrt{\frac{6 - \lfloor x-1 \rfloor}{\text{sgn}(x+3) + 1}} & ; \quad x \in [3, 6[ \end{cases}$$

Una función $f$, definida para todos los números reales positivos, satisface la ecuación $f(x^2) = x^3$ para cada $x > 0$. Entonces el valor de $f'(4)$ es:

1. $12$
2. $3$
3. $3/2$
4. no puede ser determinado

Paso 1:
Hallar la recta tangente a la curva $x^3 y^4 = a^7$ en un punto $P$; probar que el segmento tangente comprendido entre los ejes coordenados se divide en la razón $3/4$ por el punto de contacto $P$.

Si $u = f(x^3)$, $v = g(x^2)$, $f'(x) = \cos x$, y $g'(x) = \sin x$, entonces $\frac{du}{dv}$ es:

a. $\frac{3}{2} x \cos x^3 \csc x^2$      b. $\frac{2}{3} \sin x^3 \sec x^2$      c. $\tan x$      d. ninguna de estas