Aprende con Inteligencia

Sea $y = t^{10} + 1$ y $x = t^8 + 1$. Entonces $\frac{d^2y}{dx^2}$ es:

a. $\frac{5}{2}t$      b. $20t^8$      c. $\frac{5}{16t^6}$      d. ninguno de estos

Resolver la integral indefinida:
$$ \int \sqrt{(\sin(20x) + 3\sin(21x) + \sin(22x))^2 + (\cos(20x) + 3\cos(21x) + \cos(22x))^2} dx $$

Sea $f(x)$ una expresión cuadrática que es positiva para todos los valores reales de $x$. Si $g(x) = f(x) + f'(x) + f''(x)$, entonces para cualquier $x$ real:

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } g(x) < 0 & \text{b. } g(x) > 0 & \text{c. } g(x) = 0 & \text{d. } g(x) \geq 0 \end{array} $$

Paso 1:
48. Si $y = e^{-2x}(\sin 2x + \cos 2x)$, demostrar que $y'' + 4y' + 8y = 0$.

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ para la función:
$$ y = \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} - \arcsin \frac{x}{a} $$

Determinar: $(f \circ g)(x)$ dadas las funciones:
$$f(x) = |x - 2| + \left\lfloor \frac{x+6}{3} \right\rfloor ; \quad -3 \le x < 2$$
$$g(x) = \begin{cases} 2x + 1 & ; \ -3 \le x < -1 \\ 3 & ; \ -1 \le x < 2 \\ 2 - x & ; \ x \ge 2 \end{cases}$$

Si las ecuaciones $a_1 x^3 + b_1 x^2 + c_1 x + d_1 = 0$ y $a_2 x^3 + b_2 x^2 + c_2 x + d_2 = 0$ tienen un par de raíces repetidas en común, demuestre que:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 3a_1 & 2b_1 & c_1 \\ 3a_2 & 2b_2 & c_2 \\ a_2b_1 - a_1b_2 & c_1a_2 - c_2a_1 & d_1a_2 - d_2a_1 \end{array} \right| = 0 $$

Si $y = ae^{mx} + be^{-mx}$, entonces $\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y$ es igual a:

a. $m^2(ae^{mx} - be^{-mx})$
b. $1$
c. $0$
d. Ninguna de las anteriores

Paso 1:
Pruebe que la normal a una elipse en cualquiera de sus puntos $P_0$ biseca el ángulo incluido por los radios focales de $P_0$.

Encontrar la derivada de $\theta$ con respecto a $r$:
$$ \theta = \frac{3r + 2}{2r + 3} $$

Responda de forma justificada a las siguientes interrogantes conceptuales:

1. [a)] ¿Puede un punto de máximo ser también un punto de inflexión? Explique.
2. [b)] ¿Puede un punto de máximo relativo ser también punto de máximo absoluto? Explique.
3. [c)] Enuncie el Teorema de Rolle, haga un ejemplo.
4. [d)] $f(x) = |x + 3|$; ¿el punto $x = -3$ es Punto Crítico? Explique.

Hallar $dy/dx$ para la función:
41. $y = e^{\sin 3x}$