Aprende con Inteligencia

Si $f(0) = 0, f'(0) = 2$, entonces la derivada de $y = f(f(f(f(x))))$ en $x = 0$ es:

1. [a.] $2$
2. [b.] $8$
3. [c.] $16$
4. [d.] $4$

En los problemas 25 a 32, encuentre $dy/dx$.

25. $y = \ln(4x - 5)$

En los problemas 39 a 46, hallar $dy/dx$.
39. $y = e^{5x}$

Si $y = \frac{(a-x) \sqrt{a-x} - (b-x) \sqrt{x-b}}{\sqrt{a-x} + \sqrt{x-b}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ donde esté definida es:

a. $\frac{x+(a+b)}{\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
b. $\frac{2x-a-b}{2\sqrt{a-x}\sqrt{x-b}}$ \\
c. $-\frac{(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
d. $\frac{2x+(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$

Paso 1:
$$y = \frac{1}{2}x\sqrt{3-4x^2} + \frac{3}{4}\text{arcsin}\left(\frac{2x\sqrt{3}}{3}\right)$$

Resuelva los siguientes apartados teóricos:

1. [a)] Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = 2x^3 - 3x - 2$ en el intervalo $x \in [-1, 2]$.
2. [b)] Calcule $y'|_{P(1,1)}$ en la expresión implícita: $y^x = x^y$.
3. [c)] Halle los valores $a, b$ para que $f(x)$ sea derivable en todos los reales:
   $$f(x) = \begin{cases} 3ax^2 + b & , x \ge 1 \\ x^4 - 1 & , x < 1 \end{cases}$$

Paso 1:
Para la función racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2}$, encuentre la expresión para la función inversa $x = f^{-1}(y)$ y calcule la derivada $\frac{dx}{dy}$.

Paso 1:
iv) (5\%) Hallar el conjunto solución de: $\left| \frac{3|x|-x}{x+1} \right| < \frac{1}{x+1}$

Paso 1:
Pruebe que la cuerda que une los puntos de contacto de las tangentes a una parábola a través de cualquier punto de su directriz pasa por el foco.

Paso 1:
3. (20\%) Si: $g^{-1}(x+2) = 2x^2 - 5x + 4$ y $f(x) = a - 3x$, si el dominio de $g(x)$ es $x \ge \frac{5}{4}$. Calcular "a" para que se cumpla: $(f \circ g^{-1})(2) = (f^{-1} \circ g)\left( 2a^2 + \frac{7}{8} \right)$

Paso 1:
Afirmación 2: $f'(x)$ no existe para cualquier $x \in \mathbb{Z}$ (enteros).

En los problemas 33 a 36, encontrar $dy/dx$.
36. $x = a \text{ sech}^{-1} \left( \frac{y}{a} \right) - \sqrt{a^2 - y^2}$