Aprende con Inteligencia

Una circunferencia de centro en $(4,0)$ y radio 4 intersecta a otra circunferencia de centro en $(0,0)$ de radio "h" con $0 < h < 8$. Sea el punto $A(8,0)$ y $B$ el punto de intersección de ambas circunferencias, sea $L$ la recta que pasa por $A$ y $B$ que intersecta al eje de ordenadas en el punto $E$, si $O$ es el origen.

1. Calcule $\overline{OE}$ en función de "$h$".
2. Calcule $\lim_{h \to 0} \frac{\overline{OE}}{h}$.

Hallar $y'$ en forma simplificada de:
$$y = -\ln\left( \frac{x^4+2x^2+1}{x^4-x^2+1} \right) + \sqrt{12} \text{arctag}\left( \frac{\sqrt{3}}{1-2x^2} \right)$$

Calcular $\frac{d^2y}{dx^2}$ de la función dada en forma paramétrica:
$$x = e^{-t} \cos(t) \quad \text{y} \quad y = e^{-t} \text{sen}(t)$$

Paso 1:
Una esfera de radio $R$ y densidad uniforme $\rho_s$ flota en un gran tanque de líquido de densidad uniforme $\rho$. Dado que el centro de la esfera está a una distancia $x$ por encima del nivel del líquido ($x < R$), y que la esfera actúa bajo dos fuerzas: su peso y una fuerza ascendente igual al peso del líquido desplazado, halle el periodo de pequeñas oscilaciones alrededor de esta posición de equilibrio en términos de $R, x$ y $g$.

Determinar por definición la derivada de la función:
$$y = \arccos[\ln(x^3)]$$

Evaluar los siguientes límites:
a) $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\pi - 1 - 2\arccos(x) + \sqrt{x^2 + 1}}{x} \right]$
b) $L = \lim_{x \to \infty} [(x+2) \cdot \ln(x+2) - 2(x+1) \cdot \ln(x+1) + x \cdot \ln(x)]$

Sea $f(\theta) = \sin \left( \tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) \right)$, donde $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$.
Entonces el valor de $\frac{d}{d(\tan \theta)} (f(\theta))$ es:

Sea $f(x) = x - x^3$, $x \in [-2, 2]$.

• [a)] Halle las constantes $m$ y $b$ de modo que la recta $y = mx + b$ sea tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1, 0)$.
• [b)] Si una segunda recta que pasa por $(-1, 0)$ es también tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, c)$, determine las coordenadas de $a$ y $c$.

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = u^3 + 4$, $u = x^2 + 2x$

Si $\sin^{-1} \left( \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \right) = \log a$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es igual a:

• [a.] $\frac{x}{y}$
• [b.] $\frac{y}{x^2}$
• [c.] $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
• [d.] $\frac{y}{x}$

Derivar la función:
$$ f(x) = (3x - x^3 + 1)^4 $$

Calcular la derivada de la función:
$$ y = \sin^2(3x - 2) $$