Aprende con Inteligencia

Considera todas las funciones $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tales que:
(i) para cada entero positivo $m$, existe un único entero positivo $n$ tal que $f(n) = m$;
(ii) para cada entero positivo $n$, tenemos $f(n+1)$ es o bien $4f(n)-1$ o $f(n)-1$.
Halla el conjunto de enteros positivos $p$ tales que $f(1999) = p$ para alguna función $f$ con las propiedades (i) y (ii).

La derivada de $\tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} \right)$ con respecto a $\tan^{-1} \left( \frac{2x\sqrt{1-x^2}}{1-2x^2} \right)$ en $x = 0$ es:

1. [a.] $1/8$
2. [b.] $1/4$
3. [c.] $1/2$
4. [d.] $1$

Si la raíz $\alpha$ ocurre $p$ veces y la raíz $\beta$ ocurre $q$ veces en la ecuación polinómica $f(x) = 0$ de grado $n$ ($1 < p, q < n$), ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera [donde $f^{(r)}(x)$ representa la $r$-ésima derivada de $f(x)$ con respecto a $x$]?

$$ \begin{array}{l} \text{a) Si } p < q < n, \text{ entonces } \alpha \text{ y } \beta \text{ son dos de las raíces de la ecuación } f^{(p-1)}(x) = 0. \\ \text{b) Si } q < p < n, \text{ entonces } \alpha \text{ y } \beta \text{ son dos de las raíces de la ecuación } f^{(q-1)}(x) = 0. \\ \text{c) Si } p < q < n, \text{ entonces las ecuaciones } f(x) = 0 \text{ y } f^{(p)}(x) = 0 \text{ tienen exactamente una raíz común.} \\ \text{d) Si } q < p < n, \text{ entonces las ecuaciones } f^{(q)}(x) = 0 \text{ y } f^{(p)}(x) = 0 \text{ tienen exactamente dos raíces comunes.} \end{array} $$

Si $f_r(x), g_r(x), h_r(x)$ para $r = 1, 2, 3$ son polinomios tales que $f_r(a) = g_r(a) = h_r(a)$ para todo $r$, y se define:
$$F(x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\ g_1(x) & g_2(x) & g_3(x) \\ h_1(x) & h_2(x) & h_3(x) \end{vmatrix}$$
Halle el valor de $F'(x)$ evaluado en $x = a$.

Calcular el incremento de la función $\Delta y$ y la razón de incrementos $\Delta y / \Delta x$, dados:

1. [(a)] $y = 2x - 3$ y $x$ cambia de $3.3$ a $3.5$.
2. [(b)] $y = x^2 + 4x$ y $x$ cambia de $0.7$ a $0.85$.
3. [(c)] $y = 2/x$ y $x$ cambia de $0.75$ a $0.5$.

Encuentre $\frac{ds}{dt}$ para la curva definida por:
$x = 2 \cos t$, $y = 3 \sin t$

Hallar $y', y'', y'''$ en:
(a) El punto $(2,1)$ sobre $x^2 - y^2 - x = 1$
(b) El punto $(1,1)$ sobre $x^3 + 3x^2y - 6xy^2 + 2y^3 = 0$

Paso 1:
Si $y = f\left(\frac{2x-1}{x^2+1}\right)$ y $f'(x) = \sin(x^2)$, determine la expresión para $\frac{dy}{dx}$.

Halle el valor de "A y B" para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} A \left( \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 3}{x-1} \right) & ; x > 1 \\ A \cdot B & ; x = 1 \\ \frac{\sqrt[3]{x^3+7} - \sqrt{x^2+3}}{x-1} & ; x < 1 \end{cases}$$

Para $f(x)$ una función inyectiva, hallar el valor de: $N = f^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + f^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)$ dado que:
$$f\left(x - \frac{1}{x}\right) = \frac{x^6 - 1}{x^5 + x}$$

Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 tal que $f(3)=1$, $f'(3)=-1$, $f''(3)=0$, y $f'''(3)=12$. Entonces el valor de $f'(1)$ es:

1. [a.] 12
2. [b.] 23
3. [c.] -13
4. [d.] ninguna de las anteriores

Resuelva los siguientes apartados teóricos:

1. [a)] Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = 2x^3 - 3x - 2$ en el intervalo $x \in [-1, 2]$.
2. [b)] Calcule $y'|_{P(1,1)}$ en la expresión implícita: $y^x = x^y$.
3. [c)] Halle los valores $a, b$ para que $f(x)$ sea derivable en todos los reales:
   $$f(x) = \begin{cases} 3ax^2 + b & , x \ge 1 \\ x^4 - 1 & , x < 1 \end{cases}$$