Aprende con Inteligencia

Integre:
$$\int \frac{1 + \cot(x)}{1 - \cot(x)} \, dx$$

Para el círculo $x^2 + y^2 = r^2$, demuestre que:
$$ \left| \frac{y''}{[1 + (y')^2]^{3/2}} \right| = \frac{1}{r} $$

Si $y = x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dots \infty}}}$, entonces $\dfrac{dy}{dx}$ es:

1. [a.] $\dfrac{2xy}{2y-x^2}$
2. [b.] $\dfrac{xy}{y+x^2}$
3. [c.] $\dfrac{xy}{y-x^2}$
4. [d.] $\dfrac{2xy}{2 + x^2/y}$

Si $x^2 + y^2 = t - \frac{1}{t}$ y $x^4 + y^4 = t^2 + \frac{1}{t^2}$, entonces el valor de $x^3 y \frac{dy}{dx}$ es:

a. 0      b. 1      c. -1      d. Ninguno de estos

Una función $f: R \to R$ satisface $\sin x \cos y (f(2x + 2y) - f(2x - 2y)) = \cos x \sin y (f(2x + 2y) + f(2x - 2y))$. Si $f'(0) = \frac{1}{2}$, entonces:

a. $f''(x) = f(x) = 0$ \\
b. $4f''(x) + f(x) = 0$ \\
c. $f''(x) + f(x) = 0$ \\
d. $4f''(x) - f(x) = 0$

Si $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$, determinar $\frac{dy}{dx}$:

• [a.] $\frac{-1}{2|x|\sqrt{x^2-1}}$
• [b.] $\frac{-1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [c.] $\frac{1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [d.] none of these

Resuelva los siguientes apartados teóricos:

1. [a)] Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = 2x^3 - 3x - 2$ en el intervalo $x \in [-1, 2]$.
2. [b)] Calcule $y'|_{P(1,1)}$ en la expresión implícita: $y^x = x^y$.
3. [c)] Halle los valores $a, b$ para que $f(x)$ sea derivable en todos los reales:
   $$f(x) = \begin{cases} 3ax^2 + b & , x \ge 1 \\ x^4 - 1 & , x < 1 \end{cases}$$

i) Anote un ejemplo de $f(x)$ par y otro $g(x)$ impar, luego halle $(f \circ g)(x)$ y analice si es par o impar. \\
ii) Para la función: $f(x) = \ln(3x-2) - \ln(x+3)$ identifique el dominio y rango. \\
iii) Construya la gráfica de la función: $f(x) = \frac{3x}{2-x}$. \\
iv) Analice si existe o no el límite: $L = \lim_{x \to \frac{1}{4}} \lfloor 4x - 1 \rfloor$. Justifique su respuesta.

Hallar la pendiente en el punto $(x_0, y_0)$ de:
(a) $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$
(b) $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$
(c) $x^3 + y^3 - 6x^2y = 0$

Paso 1:
Encuentre, con cuatro decimales: (a) la raíz real de $x^3 + 3x + 1 = 0$; (b) la raíz más pequeña de $e^{-x} = \sin x$; (c) la raíz de $x^2 + \ln x = 2$; (d) la raíz de $x - \cos x = 0$.

Paso 1:
$$y = -\frac{\cos x}{2 \text{sen}^2 x} + \frac{1}{2} \text{Ln} \left( \frac{1 + \cos x}{\text{sen} x} \right) + \frac{4\sqrt{x^6}}{x^3}$$

Calcular la derivada de la función con respecto a $w$:
$$ z = \frac{w}{\sqrt{1 - 4w^2}} $$