Aprende con Inteligencia

Si $f(x) = x + \tan x$ y $f$ es la inversa de $g$, entonces $g'(x)$ es igual a:

a. $\displaystyle \frac{1}{1+[g(x)-x]^2}$      b. $\displaystyle \frac{1}{2-[g(x)-x]^2}$      c. $\displaystyle \frac{1}{2+[g(x)-x]^2}$      d. ninguna de estas

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es/son verdadera(s)?
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (0, \pi), \text{ es } -1 & \text{b. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \sin^{-1}(\cos x), \text{ donde } x \in (\pi, 2\pi), \text{ es } 1 \\ \text{c. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \text{ es } -1 & \text{d. } \frac{dy}{dx} \text{ para } y = \cos^{-1}(\sin x), \text{ donde } x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), \text{ es } -1 \end{array} $$

1.- (20 Pts)

• Si $y = \frac{1}{g(x)}$, demostrar que $y' = \frac{-1}{g^2(x)} \cdot g'(x)$
• Si $y = x^3 + 3x^2 + x + 1$, en $[-4, 5]$ hallar un valor de "c", tal que $f(5) = f(-4) + 9f'(c)$
• Explique claramente la definición de curva creciente y curva decreciente.
• Explique claramente el concepto de punto crítico y punto de inflexión.

Paso 1:
Dada la curva definida por la función $y = a \cosh \left( \frac{x}{a} \right)$, demuestre que $\frac{ds}{dx} = \cosh \left( \frac{x}{a} \right)$.

Diferenciar la siguiente función con respecto a $\theta$:
$$ \rho = \frac{\tan 2\theta}{1 - \cot 2\theta} $$

Derivar la función:
$$ f(x) = (3x - x^3 + 1)^4 $$

Paso 1:
Determine si la función $f(x) = x^2 + 2$ posee una función inversa en todo su dominio real.

Para la hipérbola $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$, demostrar que:
(a) la ecuación de la tangente en un punto $P(x_0, y_0)$ es $b^2x_0x - a^2y_0y = a^2b^2$.
(b) las ecuaciones de sus tangentes de pendiente $m$ son $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$.

Paso 1:
Si $|a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \cdots + a_n \sin nx| \leq |\sin x|$ para $x \in \mathbb{R}$, entonces demuestra que $|a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \cdots + na_n| \leq 1$.

Calcule la integral definida:
$$\int_0^1 \sin(\cos^{-1}(x)) \, dx$$

La ecuación $f(x) = x$ tiene:
$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \text{tres raíces reales y positivas} & \text{(b) } \text{tres raíces reales y negativas} \\ \text{(c) } \text{una raíz real} & \text{(d) } \text{tres raíces reales tales que su suma es cero} \end{array} $$

Después de graficar $f(x) + g(x)$ indicar el rango, en el dominio $0 \le x \le 2\pi$ donde:
$$f(x) = \text{sgn}[\cos x] \quad ; \quad g(x) = \left\lfloor \frac{2x}{\pi} \right\rfloor$$