Aprende con Inteligencia

Si $\lim_{t \to x} \frac{e^t f(x) - e^x f(t)}{(t - x)(f(x))^2} = 2$ y $f(0) = \frac{1}{2}$, entonces el valor de $f'(0)$ es:

a. $4$ \\
b. $2$ \\
c. $0$ \\
d. $1$

Paso 1:
32. $y = \frac{\ln x^2}{x^2}$

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = \frac{u - 1}{u + 1}$, $u = \sqrt{x}$

Hallar $y'$ en forma simplificada de:
$$y = -\ln\left( \frac{x^4+2x^2+1}{x^4-x^2+1} \right) + \sqrt{12} \text{arctag}\left( \frac{\sqrt{3}}{1-2x^2} \right)$$

Si se tiene la función:
$$ y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \log_e \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
Demuestre que se cumple la siguiente identidad diferencial:
$$ 2y = xy' + \log_e y' $$

Determinar por definición la derivada de la función:
$$y = \arccos[\ln(x^3)]$$

Evaluate
$$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{x\sqrt{x} \cos(\pi^2)}{4\sqrt{17x}} \right] $$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ para la función:
$$ y = x^2 \arccos \frac{2}{x} $$

Dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$, determine $(f \circ g)(x)$ e indique su dominio.
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{|1-x|-2} & ; \quad x > 3 \\ \lfloor x^2 - 1 \rfloor & ; \quad 0 < x \leq 3 \end{cases} \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x+1}{x-4}$$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
4. El valor de $f(1)$ es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 2 & \text{(b) } 3 & \text{(c) } -1 & \text{(d) } 4 \end{array} $$

Hallar $(f^{-1} \circ g^{-1} \circ g^{-1})(x)$, si:
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^4 - 17x^2 + 16} & ; \quad x \in ]-\infty, -4] \cup ]-1, 1] \\ x \cdot \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2-16}} & ; \quad x > 4 \end{cases}$$
$$g(x) = \sqrt{\frac{x^2-16}{x^2-1}} \quad ; \quad x \in [0, 1] \cup [4, +\infty[$$

Hallar $dy/dx$ para la función:
45. $y = \tan^2 e^{3x}$