Aprende con Inteligencia

Paso 1:
3. Calcular el siguiente límite: $L = \lim_{x \to 1} \frac{(x^n - 1) - n(x - 1)}{(x - 1)^2}$

Determine los valores de $a$ y de $b$ de modo que la función dada sea continua en su dominio.
$$f(x) = \begin{cases} \frac{3 - \sqrt{3x+3}}{a(\sqrt[3]{x}-2)} & ; \quad x < 8 \\ ab & ; \quad x = 8 \\ \frac{2}{|2x-7|b} & ; \quad x > 8 \end{cases}$$

Paso 1:
Encuentre $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ para la función $f(x) = \frac{2}{x + 1}$.

Hallar los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en $]-\frac{5}{2}, \infty[$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan(\pi x)}{x+2} & ; \quad -\frac{5}{2} < x < -2 \\ ax+b & ; \quad -2 \le x \le 0 \\ \frac{2\text{sen } x + 3\text{sen}^2 x}{x + 2x^4} & ; \quad x > 0 \end{cases}$$

Hallar el valor de la integral del valor absoluto anidado con una serie geométrica infinita:
$$ \int_{-1}^{1} \left| \left| \left| \left| |x| - \frac{2}{3} \right| - \frac{2}{3^2} \right| - \frac{2}{3^3} \right| - \dots \right| dx = \frac{1}{7} $$

Calcule el siguiente límite:
$$\lim_{n \to \infty} n \int_0^{\pi/4} \tan^n(x) dx$$

Escriba los primeros cinco términos de cada una de las siguientes sucesiones:

(a) $\left\{ 1 + \frac{1}{n} \right\}$      (b) $\left\{ \frac{1}{n(n+1)} \right\}$      (c) $\{ a + (n-1)d \}$      (d) $\{ (-1)^{n+1} ar^{n-1} \}$

(e) $\left\{ \frac{n}{\sqrt{1+n^2}} \right\}$      (f) $\left\{ \frac{\sqrt{n+1}}{n} \right\}$      (g) $\left\{ (-1)^{n+1} \frac{n!}{n^n} \right\}$      (h) $\left\{ \frac{(2n)!}{3^n 5^{n-1}} \right\}$

Sean $p(x)$ y $q(x)$ dos polinomios tales que el grado de $p(x)$ es mayor que el grado de $q(x)$ y los coeficientes de los términos de mayor grado en $p(x)$ y $q(x)$ tienen el mismo signo. Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{q(n)}{p(n)} = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = +\infty $$

Paso 1:
ii) (5\%) Enunciar la condición de necesidad y suficiencia para que exista el límite $f(x)$ en el punto $x_0 \in D_f$.

Halle el valor de "b" para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} b \cdot \frac{a^{a^x} - a^{x^a}}{a^x - x^a} & ; \quad x \leq a \\ \frac{a^x - a^a}{x - a} & ; \quad x > a \end{cases}$$

Paso 1:
Para la función $f(x) = 5x - 6$, encuentre un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - 4| < \delta$, entonces $|f(x) - 14| < \epsilon$, cuando (a) $\epsilon = \frac{1}{2}$ y (b) $\epsilon = 0.001$.

Paso 1:
$\int \frac{x^5 - x^3 + x^2 - 1}{x^4 - x^3 + x - 1} \, dx$