Aprende con Inteligencia

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{m}{1-x^m} - \frac{n}{1-x^n} \right]$$

(8) (a) Demuestre que si $|s_n| \to 0$, entonces $s_n \to 0$.
(b) Sea $s \neq 0$. ¿Es verdad que si $|s_n| \to |s|$, entonces $s_n \to s$?

Halle el valor de $A$ para que la función $f(x)$ sea continua en los reales:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{\text{arctg}(1+x) - \text{arctg}(1-x)} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Evaluar el límite:
$$L = \lim_{x \to b} \left[ 2\csc(x-b) \cdot \cot\left( \frac{\pi x}{2b} \right) \right]$$

Paso 1:
ii) (5\%) Enunciar la condición de necesidad y suficiencia para que exista el límite $f(x)$ en el punto $x_0 \in D_f$.

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 2} \left( \frac{\sqrt{1+\sqrt{x+2}} - \sqrt{3}}{2 - \sqrt[3]{9 - \sqrt{2x-3}}} \right)$$

Demuestre los siguientes límites utilizando la definición formal de límite de una sucesión ($\epsilon-N$):

1. [(i)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$
2. [(ii)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$
3. [(iii)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 - 10^7} = 0$
4. [(iv)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2}{n^2 - \pi} = 3$
5. [(v)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k - b} = 0$, donde $k$ es un entero positivo y $b$ es un número distinto de cero.

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 1} \left( \frac{\sqrt[36]{x-1} - \sqrt[9]{x-1}}{3x^2 - 3 + \sqrt[36]{x-1}} \right) \left( \frac{x^{3/2} - 1 + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2 - 1}} \right)$$

Paso 1:
Encuentre $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ para la función $f(x) = \frac{2}{x + 1}$.

Analizar la continuidad de la función $f(x)$ en el punto $X_0 = \frac{\pi}{4}$:
$$f(x) = \frac{e^x \sin^2 x}{\tan^2 x \cos^2 x (1 - \sin x)}$$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{2 - \sqrt{\cos x} - \sec x}{\sqrt{\cos x} - \sqrt[3]{\cos x}} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{8(x^{34} - 1)}{x^{32} - x^{30} + x^{28} - \dots + x^4 - x^2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Escriba una demostración detallada del siguiente límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \left( 3 - \frac{23}{n} \right)^3 = 27 $$