Aprende con Inteligencia

Hallar el valor de A y B para que la función sea continua en $\mathbb{R}$.
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x^3-8} & ; \quad x \geq 2 \\ Ax + B & ; \quad 1 < x < 2 \\ \frac{2x-1-x^6}{x^3-2x+1} & ; \quad x \leq 1 \end{cases}$$

Evaluar el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\tan(a+2x) - 2\tan(a+x) + \tan(a)}{x^2} \right]$$

Escriba los primeros cinco términos de cada una de las siguientes sucesiones:

(a) $\left\{ 1 + \frac{1}{n} \right\}$      (b) $\left\{ \frac{1}{n(n+1)} \right\}$      (c) $\{ a + (n-1)d \}$      (d) $\{ (-1)^{n+1} ar^{n-1} \}$

(e) $\left\{ \frac{n}{\sqrt{1+n^2}} \right\}$      (f) $\left\{ \frac{\sqrt{n+1}}{n} \right\}$      (g) $\left\{ (-1)^{n+1} \frac{n!}{n^n} \right\}$      (h) $\left\{ \frac{(2n)!}{3^n 5^{n-1}} \right\}$

Paso 1:
$\int \frac{x^5 - x^3 + x^2 - 1}{x^4 - x^3 + x - 1} \, dx$

5. Hallar el valor de $A$ para que la función sea continua en $x=0$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x - 1}{1 - \cos 2x} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x) \leq M$ para todo $x$ y si $\lim_{x \to a} f(x) = A$, entonces $A \leq M$. (Sugerencia: Suponga $A > M$. Elija $\epsilon = \frac{1}{2}(A - M)$ y obtenga una contradicción).

Hallar los valores de $a$ y $b$, para que la función $f(x)$ sea continua en los reales:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\text{sen}(\pi x)}{x+1} & , \quad x < -1 \\ 2\pi ax + \pi b & , \quad -1 \leq x \leq 1 \\ \pi \cdot \frac{2x-1-x^6}{x^3-2x+1} & , \quad x > 1 \end{cases}$$

Sea el dominio de dos sucesiones $(s_n)$ y $(t_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 2$, $t_n \to 2 + \delta$, donde $\delta$ es el número $10^{-5820}$. Ahora defina una nueva sucesión:
$$ u_n = \begin{cases} s_n & \text{si } n \text{ no es un múltiplo de 3,} \\ t_n & \text{si } n \text{ es un múltiplo de 3.} \end{cases} $$
Así, los primeros términos de la sucesión $(u_n)$ se ven así: $s_1, s_2, t_3, s_4, s_5, t_6, s_7, \dots$. ¿Es $(u_n)$ una sucesión convergente? Explique.

Use la definición precisa para probar:
(a) $\lim_{x \to 3} 5x = 15$
(b) $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$
(c) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 5) = 3$

Paso 1:
ii) (5\%) Enunciar la condición de necesidad y suficiencia para que exista el límite $f(x)$ en el punto $x_0 \in D_f$.

Calcule el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 2\pi} \cot^2 x \cdot \left( \sqrt{2\cos^2 x + 3\cos x + 4} - \sqrt{\cos^2 x + 6\cos x + 2} \right)$$

Sea $\sigma$ un número positivo y sea $t_n = \sigma + \frac{(-1)^n}{n}$ para cada entero positivo $n$.

1. [(a)] Demuestre que la sucesión $(t_n)$ converge a $\sigma$.
2. [(b)] Demuestre que para cada entero par $n$, $t_{n+1} < \sigma < t_n$.