Aprende con Inteligencia

(7) (a) Escriba una demostración detallada de que la sucesión $((-1)^n)$ es divergente.
(b) Defina $s_n = (1 + (-1)^n)^n$. ¿Es $(s_n)$ una sucesión convergente? ¿Por qué?

Para la función:
$$f(x) = \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[4]{x})(1-\sqrt[5]{x})\dots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}$$
En el punto $x_0=1$, hallar el valor de $f(x)$ para que tenga una discontinuidad evitable en $x_0=1$. $(n \in \mathbb{N}, n > 1)$.

Determine el número de soluciones positivas que satisfacen la ecuación:
$$ \tan^{-1} \left( \frac{1}{2x + 1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{4x + 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{x^2} \right) $$

Halle los valores de "A" y "B" para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x-6} + \sqrt{x+11} - 1}{x+2} & ; \ x < -2 \\ Ax+B & ; \ -2 \le x \le 1 \\ \frac{\text{sen}^2(\pi 2^x)}{\ln[\cos(\pi 2^x)]} & ; \ x > 1 \end{cases}$$

Paso 1:
Calcule el siguiente límite: $L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x^2 + 5x + 6} $$

(9) Sean $(s_n)$ y $(t_n)$ sucesiones de números positivos. Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} = 0 \iff \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{s_n} = +\infty $$

Sea $(s_n)$ una sucesión contenida en el intervalo abierto $(-\pi/2, \pi/2)$ tal que $s_n \to \pi/2$.
(a) Demuestre que $\tan s_n \to +\infty$ demostrando directamente que dado $M > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$, $\tan s_n > M$.
(b) Demuestre análogamente que si $s_n \to -\pi/2$, entonces $\tan s_n \to -\infty$.

Halle el valor de $A$ para que la función $f(x)$ sea continua en los reales:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{\text{arctg}(1+x) - \text{arctg}(1-x)} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sqrt[3]{x^3+5} + 4x^2 + 6 - 2x}{x - \sqrt[3]{x^3 - 12x^2 + 1}} \right)$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 5} $$

Paso 1:
Calcular el siguiente límite: $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sqrt[3]{5x+1} \cdot \sqrt{1+7x} - 1}{x} \right]$