Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Calcule el siguiente límite: $L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^4}{x^2 - 5x + 3} \right) \left[ \sin\left(\frac{\pi x + 2}{2x}\right) + \cos\left(\frac{2\pi x + 4}{2x}\right) \right]$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(\sqrt{4x^2+1})}{x(e^{2x}-1)} & ; \quad x < 0 \\ 2ax + b & ; \quad 0 \leq x \leq 3 \\ \frac{81(\sqrt[3]{2x^2+9} - \sqrt{6x-2} + 1)}{x^2-9} & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

Hallar el valor de $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{12(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{2x+1} - 1)}{13x} & ; -\frac{1}{3} < x < 0 \\ Ax+B & ; 0 \le x \le 2 \\ \frac{-2(x-2)\log_2 e}{\log_2 x - \log_2 2} & ; x > 2 \end{cases}$$

Paso 1:
Empleando límites estudie la continuidad de la función: $f(x) = \text{sgn}\left(\frac{x^2-1}{x^2+2}\right)$ en el punto de acumulación: $x=1$.

5. Hallar el valor de $A$ para que la función sea continua en $x=0$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x - 1}{1 - \cos 2x} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Calcule:
$$\lim_{n\to\infty} n \int_{0}^{\infty} \sin \left( \frac{1}{x^n} \right) dx$$

Demuestre que:
$$ \left( \frac{95}{4} \right) \left| \frac{1}{(n - 12.5)} \right| < \epsilon \iff \left| \frac{1}{(n - 12.5)} \right| < \left( \frac{4\epsilon}{95} \right) $$

Para la función:
$$f(x) = \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[4]{x})(1-\sqrt[5]{x})\dots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}$$
En el punto $x_0=1$, hallar el valor de $f(x)$ para que tenga una discontinuidad evitable en $x_0=1$. $(n \in \mathbb{N}, n > 1)$.

Halle el límite:
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \int_{-1/2}^{1/2} (1-3x^2+x^4)^n dx$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 3^{-x}}{3^x + 3^{-x}} $$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\text{sen}^2 \{1 - \cos[\text{sen}(\text{sen} 2x)]\}}{1 - \cos[1 - \cos(\text{sen } x)]} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \dfrac{x^2 - 42x + 41}{x^2 - 3x + 2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Evaluar:
$$ \int 3^{3^x} \cdot 3^x dx $$