Aprende con Inteligencia

Sean $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ tales que:
1) $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ para todos los valores de $x$ cerca de $x = a$.
2) $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A$.
Demuestre que $\lim_{x \to a} g(x) = A$. (Sugerencia: Para un $\epsilon > 0$ dado, existe un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - a| < \delta$ entonces $|f(x) - A| < \epsilon$ y $|h(x) - A| < \epsilon$, o bien $A - \epsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < A + \epsilon$).

Calcule el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 3^x}{\sqrt{2x-2} - \sqrt{x^2-5}}$$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(\sqrt{4x^2+1})}{x(e^{2x}-1)} & ; \quad x < 0 \\ 2ax + b & ; \quad 0 \leq x \leq 3 \\ \frac{81(\sqrt[3]{2x^2+9} - \sqrt{6x-2} + 1)}{x^2-9} & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{2 - \sqrt{\cos x} - \sec x}{\sqrt{\cos x} - \sqrt[3]{\cos x}} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{8(x^{34} - 1)}{x^{32} - x^{30} + x^{28} - \dots + x^4 - x^2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Hallar el límite para la función $f(x) = \tan(2x)$:
$$L = \lim_{x \to 0} \frac{f(a+2x) - 2f(a+x) + f(a)}{x^2}$$

Evaluar:
$$ \int 3^{3^x} \cdot 3^x dx $$

Determine el valor del siguiente límite:
$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \left( \epsilon^4 \int_0^{\pi/2 - \epsilon} \tan^5(x) \, dx \right)$$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(x-1)}{\sqrt{5+2x}-3} & ; \quad x > 2 \\ ax^2 + bx & ; \quad 1 \le x \le 2 \\ \frac{-x^6 + 2x - 1}{x^5 - 2x + 1} & ; \quad x < 1 \end{cases}$$

(9) (a) Dé una demostración detallada del Teorema 2.5 en la página 132.
(b) Dado un intervalo abierto acotado $(a, b)$, muestre que hay una sucesión de números $(s_n)$ tal que $s_n \in (a, b)$ para todo $n$ y $s_n \to s$ para algún número $s$, pero $s \notin (a, b)$.

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\text{sen } x + \cos x}{\frac{1}{3}(a^x + b^x + c^x)} \right]^{\frac{1}{x}}$$

Paso 1:
$$f(x) = \begin{cases} a \left( \frac{\sqrt{x^2+8} - \sqrt[3]{x^2-24x+2}}{\sqrt[3]{7-x} + \sqrt{5-x^2}-4} \right) & ; -\sqrt{5} \leq x < -1 \\ \frac{a}{b} & ; x = -1 \\ \frac{\sqrt[5]{31-x} - 6x - 8}{b^2(\sqrt[3]{26-x} - 5x - 8)} & ; x > -1 \end{cases}$$

Sea el dominio de dos sucesiones $(s_n)$ y $(t_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 2$, $t_n \to 2 + \delta$, donde $\delta$ es el número $10^{-5820}$. Ahora defina una nueva sucesión:
$$ u_n = \begin{cases} s_n & \text{si } n \text{ no es un múltiplo de 3,} \\ t_n & \text{si } n \text{ es un múltiplo de 3.} \end{cases} $$
Así, los primeros términos de la sucesión $(u_n)$ se ven así: $s_1, s_2, t_3, s_4, s_5, t_6, s_7, \dots$. ¿Es $(u_n)$ una sucesión convergente? Explique.