Aprende con Inteligencia

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to a} \left[ \frac{\text{arctg}\sqrt{1-x} - \text{arctg}\sqrt{1-a}}{x - a} \right]$$

Calcular el siguiente límite ($m, n, u, v$ son números enteros):
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sqrt[n]{1+ux} \cdot \sqrt[m]{1+vx} - 1}{\sqrt[m]{1+ux} - \sqrt[n]{1+vx}} \right]$$

Halle el valor de "b" para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} b \cdot \frac{a^{a^x} - a^{x^a}}{a^x - x^a} & ; \quad x \leq a \\ \frac{a^x - a^a}{x - a} & ; \quad x > a \end{cases}$$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(1) = 3$ y $f'(1) = 6$. Entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(1+x)}{f(1)} \right)^{1/x} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } e^{1/2} & \text{(c) } e^2 & \text{(d) } e^3 \end{array} $$

(7) a) Demuestre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n!} = 0$, donde $n!$ es el factorial de $n$, el cual se define como el producto $n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$. (Sugerencia: Considere usar el principio del sándwich).
b) Si en (a), $n^2$ es reemplazado por $n^k$ para un número entero fijo $k$, ¿sigue cumpliéndose (a)?

Halle $L = \lim_{x \to 0^+} \frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x)}$ sabiendo que:
$f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{8(1+\sin^2 x)}}$ y $g(\ln x) = e^{\ln x} - 1$.

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2} \right]$$

Halle los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[3]{1+x} - 1}{x} & ; -\frac{1}{2} \le x < 0 \\ ax+b & ; 0 \le x \le 1 \\ \frac{\sqrt[3]{x^2+7} - \sqrt{x+3}}{2x^2-3x+1} & ; x > 1 \end{cases}$$

Sea $\sigma$ un número positivo y sea $t_n = \sigma + \frac{(-1)^n}{n}$ para cada entero positivo $n$.

1. [(a)] Demuestre que la sucesión $(t_n)$ converge a $\sigma$.
2. [(b)] Demuestre que para cada entero par $n$, $t_{n+1} < \sigma < t_n$.

(9) (a) Dé una demostración detallada del Teorema 2.5 en la página 132.
(b) Dado un intervalo abierto acotado $(a, b)$, muestre que hay una sucesión de números $(s_n)$ tal que $s_n \in (a, b)$ para todo $n$ y $s_n \to s$ para algún número $s$, pero $s \notin (a, b)$.

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{4x - 5} $$

Calcule el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt[3]{x+1} + 4\sqrt[11]{x+1} - \sqrt[13]{x+1} - 4}{\sqrt[3]{x+1} - 5\sqrt[5]{x+1} + \sqrt[7]{x+1} + 3} \right)$$