Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Resolver la ecuación: $\cot x + \cot \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 2$

Dado $A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$ para todos los valores de $\theta$, determine el rango de $A$:
(a) $1 \leq A \leq 2$
(b) $3/4 \leq A \leq 1$
(c) $13/6 \leq A \leq 1$
(d) $3/4 \leq A \leq 13/6$

Si $\cos x + \cos y + \cos z = 0$, demostrar que:
$$ \cos(3x) + \cos(3y) + \cos(3z) = 12 \cos x \cos y \cos z $$

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
$$ \begin{cases} x + y = \dfrac{\pi}{6} \\ 5 (\sin 2x + \sin 2y) = 2 (1 + \cos^2 (x - y)) \end{cases} $$

Resolver:
$$ \sin^3 x + \cos^3 x = 1 $$

Demostrar que:
$$ \cos x + \sin 3x + \cos 5x + \sin 7x + \dots + \sin(2n+1)x = \frac{\sin 2nx}{\sin 2x} \cdot [\cos(2n-1)x + \sin(2n+1)x] $$
*Nota: Se asume que la serie tiene $2n$ términos para que la alternancia $\cos/\sin$ sea completa hasta el término indicado.*

Paso 1:
Demostrar que $\sin(9^\circ) = \frac{1}{4} \left( \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{5 - \sqrt{5}} \right)$.

Resolver la ecuación:
$$ \sin 2x + \tan x = 2 $$

Considere el polinomio
$P(x) = (x - \cos 36^\circ)(x - \cos 84^\circ)(x - \cos 156^\circ)$
Determine:
1. El coeficiente de $x^2$ es:
(a) $0$      (b) $1$      (c) $-1/2$      (d) $\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)$

2. El coeficiente de $x$ es:
(a) $3/2$      (b) $-3/2$      (c) $-3/4$      (d) $2$

3. El término constante en $P(x)$ es:
(a) $\left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)$      (b) $\left( \frac{\sqrt{5}-1}{16} \right)$      (c) $\left( \frac{\sqrt{5}+1}{16} \right)$      (d) $\frac{1}{16}$

Encuentre el valor de:
$$ \cos(18^\circ) + \cos(234^\circ) + \cos(162^\circ) + \cos(306^\circ) $$

Paso 1:
Si $\cos^4 \theta + \cos^2 \theta = 1$, demuestre que $\tan^4 \theta + \tan^2 \theta = 1$.

Resolver la ecuación:
$$ 4 - 4(\cos x - \sin x) - \sin 2x = 0 $$