Aprende con Inteligencia

Calcular la integral definida:
$$\int_0^4 \binom{x}{5} dx$$

Sea $\Omega$ el círculo de radio 2 centrado en el origen. Evaluar la integral:
$$ \iint_{\Omega} y^2 dx dy $$

Calcule:
$$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^2}} dx$$

Dada la función:
$$ y = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \left\{ \arctan \left( \sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \tan \frac{x}{2} \right) \right\} $$
Demuestre que la segunda derivada es:
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{b \sin x}{(a + b \cos x)^2} $$

Resuelva:
$$\int \frac{\cos x}{1 - \cos(2x)} dx$$

Calcule la siguiente integral definida:
$$\int_{-2023}^{2023} \underbrace{||||x|-1|-1|\cdots|-1|}_{2023 \, (-1)\text{'s}} dx$$

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x) \leq M$ para todo $x$ y si $\lim_{x \to a} f(x) = A$, entonces $A \leq M$. (Sugerencia: Suponga $A > M$. Elija $\epsilon = \frac{1}{2}(A - M)$ y obtenga una contradicción).

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \tan^3 x \cdot \sec^5 x \, dx $$

Determinar los valores de $x$ para los cuales la función es continua o discontinua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 27\operatorname{sgn}(x-1)}{x^3 + 3x^2 + 3x - 9 \lfloor \frac{x}{9} \rfloor} & ; -5 < x < 0 \wedge x \neq -3 \\ \frac{x^2-9}{x^2-2x-3} & ; 0 \le x < 5 \wedge x \neq 3 \\ \frac{9}{4} & ; x = -3 \\ \frac{3}{2} & ; x = 3 \end{cases}$$

Calcular la integral definida:
$$ \int_{0}^{1000} (\lfloor \lceil x \rceil \rfloor + \lceil \lfloor x \rfloor \rceil + \lfloor \{ x \} \rfloor + \{ \lfloor x \rfloor \} + \lceil \{ x \} \rceil + \{ \lceil x \rceil \}) \, dx $$

donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es el piso, $\lceil \cdot \rceil$ es el techo y $\{ \cdot \}$ es la parte fraccionaria.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{1/3}} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{x dx}{x + \sqrt{x^2 - 1}} $$