Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Demostrar que las curvas $y = x^3 + 2$ y $y = 2x^2 + 2$ tienen una tangente común en el punto $(0, 2)$ e intersecan a un ángulo $\phi = \arctan \frac{4}{97}$ en el punto $(2, 10)$.

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \sec^{4} x \, dx $$

Sea $y = t^{10} + 1$ y $x = t^8 + 1$. Entonces $\frac{d^2y}{dx^2}$ es:

a. $\frac{5}{2}t$      b. $20t^8$      c. $\frac{5}{16t^6}$      d. ninguno de estos

4. Afirmación 1: Para $f(x) = \sin x$, $f'(\pi) = f'(3\pi)$.
Afirmación 2: Para $f(x) = \sin x$, $f(\pi) = f(3\pi)$.

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x - 1)^3 (x - 2)^2} $$

Calcule la derivada de la siguiente función:
$$ y = \sqrt{1 + \sqrt{x}} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin 2x}{a \sin^2 x + b \cos^2 x} dx $$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\text{sen } x + \cos x}{\frac{1}{3}(a^x + b^x + c^x)} \right]^{\frac{1}{x}}$$

Resuelva:
$$\int \frac{1}{2 + e^x} dx$$

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Evalúe la integral definida:
$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$$

Paso 1:
Un hombre de $5\text{ pies}$ de altura camina a una velocidad de $4\text{ pies/seg}$ alejándose directamente de un poste de luz que está a $20\text{ pies}$ sobre la calle. (a) ¿A qué velocidad se mueve el extremo de su sombra? (b) ¿A qué velocidad cambia la longitud de su sombra?