Aprende con Inteligencia

Resuelva la integral definida:
$$\int_{-3/2}^{-1/2} (x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 8x^2 + x) dx$$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{x}{\sqrt[3]{x^3 - 3x - 2}} \, dx $$

Hallar la solución de la integral:
$$ \int e^{\cos x} \cos(2x + \sin x) dx $$

Determine el valor de la siguiente expresión:
$$ \left\lfloor 10^{20} \int_{2}^{\infty} \frac{x^9}{x^{20} - 48x^{10} + 575} dx \right\rfloor $$

Determine el valor exacto de la integral:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{xe^{-2x}}{e^{-x} + 1} dx $$

Calcular el valor de la integral:
$$ \int_{0}^{100} \left( \left\lceil \frac{x-1}{3} \right\rceil - \left\lfloor \frac{x+1}{3} \right\rfloor \right) \left( \left\lceil \frac{x-1}{5} \right\rceil - \left\lfloor \frac{x+1}{5} \right\rfloor \right) \left( \left\lceil \frac{x-1}{7} \right\rceil - \left\lfloor \frac{x+1}{7} \right\rfloor \right) \, dx $$

Hallar el valor del límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \left( \int_{0}^{1} \sum_{k=1}^{n} \frac{(kx)^4}{n^5} \, dx \right) $$

Demuestre que el valor de la siguiente integral impropia es $1/4$:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2(2^x) \cos^2(3^x) \left( 4 \cos^2(2^x) (4 \cos^2(3^x) - 3)^2 - 1 \right) \, dx = \frac{1}{4} $$

Calcular el valor de la siguiente expresión que involucra la parte entera de un logaritmo decimal de una integral impropia:
$$ \left\lfloor \log_{10} \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx \right\rfloor = -2022^3 - 8 $$
Demuestre la validez de la igualdad planteada.

Paso 1:
Demuestre que (a) la curvatura de una línea recta es cero y (b) la curvatura de un círculo es numéricamente el recíproco de su radio.

Calcular el valor de la integral:
$$ \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{\sqrt{e^{2x} - x^2}} \, dx $$

Calcular el valor de la siguiente integral impropia:
$$ \int_{1}^{\infty} x^{5}e^{-x} \, dx $$