Aprende con Inteligencia

Evaluar la siguiente integral:
$$ \int (3^{\log_{x} 2} - 2^{\log_{x} 3}) \, dx $$

Evaluar los siguientes límites:
(a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}$;
(b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$;
(c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 2x}{x \sin^2 3x}$.

Determine el valor de la integral definida:
$$\int_0^{\infty} \frac{1}{e^x + 1} \, dx$$

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{7/2} \sqrt{x + \frac{1}{\sqrt{x + \frac{1}{\sqrt{x + \dots}}}}} \, dx $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$

Sea la función definida por una fracción continua infinita:
$$ f(x) = x + \frac{1}{2x + \frac{1}{2x + \frac{1}{2x + \cdots \infty}}} $$
Calcule el valor de la expresión $E = f(50) \cdot f'(50)$.

Paso 1:
Muestre que $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo, si $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0$.

Calcular la integral:
$$\int \cos(x)^6 dx$$

En los problemas 25 a 32, encuentre $dy/dx$.

25. $y = \ln(4x - 5)$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ si se cumple la relación:
$$y + \tan(y) = x + \sin(2x)$$

Paso 1:
Investigar el comportamiento de $f(x) = |x|$ cuando $x \to 0$. Dibujar una gráfica. (Sugerencia: Examine $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)$.)

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x)$ está definida para todo $x$ cerca de $x = a$ y tiene un límite cuando $x \to a$, dicho límite es único. (Sugerencia: Suponga que $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} f(x) = B$, con $B \neq A$. Elija $\epsilon_1, \epsilon_2 < \frac{1}{2} |A - B|$. Determine $\delta_1$ y $\delta_2$ para los dos límites y tome $\delta$ como el menor entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Muestre que entonces $|A - B| = |[A - f(x)] + [f(x) - B]| < |A - B|$, lo cual es una contradicción).