Aprende con Inteligencia

Evaluate
$$ \int \sin^2(2\theta) \cos^2(2\theta) \, d\theta. $$

Paso 1:
Hallar la recta tangente a la curva $x^3 y^4 = a^7$ en un punto $P(x_0, y_0)$; probar que el segmento tangente comprendido entre los ejes coordenados se divide en la razón $3/4$ por el punto de contacto $P$.

Si $y = \tan^{-1} \left( \frac{2^x}{1 + 2^{2x+1}} \right)$, entonces $\frac{dy}{dx}$ en $x = 0$ es:

1. [a.] $1$
2. [b.] $2$
3. [c.] $\ln 2$
4. [d.] ninguno de estos

Calcule el valor de la siguiente integral definida que involucra la función máximo entre dos funciones trigonométricas:
$$\int_{0}^{2\pi} \max(\sin(x), \sin(2x)) \, dx$$

Dada la función:
$$ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x^2} + \frac{1}{2} \operatorname{arcsec} \frac{x}{2} $$
Encuentre su derivada con respecto a $x$.

Paso 1:
Sea $F(x) = f(x)g(x)h(x)$ para todo $x$ real, donde $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ son funciones derivables. En algún punto $x_0$, se cumple que $F'(x_0) = 21 F(x_0)$, $f'(x_0) = 4 f(x_0)$, $g'(x_0) = -7 g(x_0)$, y $h'(x_0) = k h(x_0)$. Determine el valor de $k$.

Calcule el valor de:
$$\int_{0}^{3} \left( \min\left(2x, \frac{5-x}{2}\right) - \max\left(-\frac{x}{2}, 2x-5\right) \right) \, dx$$

Al calcular la siguiente integral, utilizando la integración directa:
$$ I = \int \left[ 2x\sqrt{1+x^2} - e^{8x+12} + \frac{4x}{1-x^2} - \sqrt[5]{x^2} \right] dx $$
Se obtiene:
$$ I = -(b-3) \ln |1-x^{(a-1)}| + \frac{2}{a} (1+x^{(b-3)})^{\frac{3}{2}} - \frac{e^{cx+12}}{c} - \frac{bx^{\frac{(a+4)}{5}}}{(d-2)} + C $$
Hallar el valor de: $\left( \frac{a+b}{c} \right) d$

Paso 1:
Si $f(x) = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{2x}}}$, entonces hallar $f'(1)$.

Calcule la integral definida:
$$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{dx}{\sin^3 x \cos^5 x}$$

Encuentre la derivada $dy/dx$ para la función:
$$ y = 4 \tan 5x $$

Si $y = \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}}$, entonces $(1 - x^2) \frac{dy}{dx}$ es igual a:

a. $x + y$     
b. $1 + xy$     
c. $1 - xy$     
d. $xy - 2$