Aprende con Inteligencia

Calcule la integral definida:
$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\tan^{\sqrt{2020}}(x) + 1} dx$$

Evaluar la siguiente integral:
$$ \int \frac{\sin^3 x}{(\cos^4 x + 3\cos^2 x + 1)\arctan(\sec x + \cos x)} \, dx $$

Sean $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n > 2$) los vértices de un polígono regular de $n$ lados con su centro en el origen. Sea $\vec{a}_k$ el vector de posición del punto $A_k$ para $k = 1, 2, \dots, n$. Si se cumple que:
$$ \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}) \right| $$
entonces el valor mínimo de $n$ es:

Paso 1:
Evaluar: $\int \sin^{-1}(\cos x) dx$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \frac{\cos(x) - \sin(x)}{2 + \sin(2x)} dx$$

Si $y = \cos^{-1}(\cos x)$, hallar $\frac{dy}{dx}$ evaluado en $x = \frac{5\pi}{4}$.

• [a.] $1$
• [b.] $-1$
• [c.] $\frac{1}{\sqrt{2}}$
• [d.] none of these

Después de graficar $f(x) + g(x)$ indicar el rango, en el dominio $0 \le x \le 2\pi$ donde:
$$f(x) = \text{sgn}[\cos x] \quad ; \quad g(x) = \left\lfloor \frac{2x}{\pi} \right\rfloor$$

Analice la monotonía de las siguientes funciones:

1. [(a)] Demuestre que $y = x^5 + 20x - 6$ es una función creciente para todos los valores de $x$.
2. [(b)] Demuestre que $y = 1 - x^3 - x^7$ es una función decreciente para todos los valores de $x$.

Calcule la integral indefinida:
$$\int x^{2x}(2\ln(x) + 2) dx$$

Calcule:
$$\int \sin^4 x \cos^4 x (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) \, dx$$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
4. El valor de $f(1)$ es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 2 & \text{(b) } 3 & \text{(c) } -1 & \text{(d) } 4 \end{array} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{x}{x^2 + 1} dx $$