Aprende con Inteligencia

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x(1 + x^3)} $$

Calcular la integral:
$$\int \sqrt{\csc(x) - \sin(x)} dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^3(b + ax)^2} $$

Determine la expresión equivalente para la segunda derivada de $x$ con respecto a $y$, es decir, $\frac{d^2x}{dy^2}$.

$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^{-1} & \text{(b) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \\ \text{(c) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} & \text{(d) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \end{array} $$

Evaluar la integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{\exp(x)} \, dx$$

Calcule la integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x^4} dx$$

Calcular la integral definida:
$$ \int_{0}^{1000} (\lfloor \lceil x \rceil \rfloor + \lceil \lfloor x \rfloor \rceil + \lfloor \{ x \} \rfloor + \{ \lfloor x \rfloor \} + \lceil \{ x \} \rceil + \{ \lceil x \rceil \}) \, dx $$

donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es el piso, $\lceil \cdot \rceil$ es el techo y $\{ \cdot \}$ es la parte fraccionaria.

Si $f''(x) = -f(x)$ y $g(x) = f'(x)$ y se define la función:
$$F(x) = \left( f\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 + \left( g\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2$$
y dado que $F(5) = 5$, entonces el valor de $F(10)$ es:

1. [a.] 5
2. [b.] 10
3. [c.] 0
4. [d.] 15

Paso 1:
Sea $y = f(x)$, donde $f$ satisface la relación $f(x + y) = f(x) + f(y) + x\sqrt{f(y)} + y\sqrt{f(x)}$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ y $f'(0) = 0$. Calcule el valor de $f(6)$.

Paso 1:
32. $y = \frac{\ln x^2}{x^2}$

Paso 1:
Si $y = f\left(\frac{2x-1}{x^2+1}\right)$ y $f'(x) = \sin(x^2)$, determine la expresión para $\frac{dy}{dx}$.

Evalúe la integral:
$$\int_{1}^{2} (x-1)^{1/2} (2-x)^{1/2} \, dx$$