1. Datos y Sustitución Inicial
Sea la integral:
$$ I = \int_{0}^{s} \frac{\log^{n-1}(1+t)}{t} dt $$

Realizamos el cambio de variable para simplificar el argumento del logaritmo:
$$ 1 + t = x \implies dt = dx $$
Cambiamos los límites de integración:
$$ \text{Si } t=0 \implies x=1 $$
$$ \text{Si } t=s \implies x=1+s $$

Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int_{1}^{1+s} \frac{\log^{n-1}(x)}{x-1} dx $$

2. Transformación por Inversión
Para facilitar la expansión en serie, realizamos una segunda sustitución:
$$ x = \frac{1}{v} \implies dx = -\frac{1}{v^2} dv $$
Nuevos límites:
$$ \text{Si } x=1 \implies v=1 $$
$$ \text{Si } x=1+s \implies v = \frac{1}{1+s} $$

Reemplazando:
$$ I = \int_{1}^{\frac{1}{1+s}} \frac{\log^{n-1}(1/v)}{\frac{1}{v} - 1} \left( -\frac{1}{v^2} \right) dv $$
$$ I = \int_{\frac{1}{1+s}}^{1} \frac{[-\log(v)]^{n-1}}{\frac{1-v}{v} \cdot v^2} dv $$
$$ I = (-1)^{n-1} \int_{\frac{1}{s+1}}^{1} \frac{\log^{n-1}(v)}{v(1-v)} dv $$

3. Descomposición en Fracciones Parciales
Utilizamos la identidad $\frac{1}{v(1-v)} = \frac{1}{v} + \frac{1}{1-v}$:
$$ I = (-1)^{n-1} \left[ \int_{\frac{1}{s+1}}^{1} \frac{\log^{n-1}(v)}{v} dv + \int_{\frac{1}{s+1}}^{1} \frac{\log^{n-1}(v)}{1-v} dv \right] $$

4. Evaluación de la Primera Integral
La integral inmediata es de la forma $\int u^m du$:
$$ I_1 = \int_{\frac{1}{s+1}}^{1} \frac{\log^{n-1}(v)}{v} dv = \left[ \frac{\log^{n}(v)}{n} \right]_{\frac{1}{s+1}}^{1} $$
$$ I_1 = 0 - \frac{\log^n(1/(s+1))}{n} = - \frac{[-\log(s+1)]^n}{n} = - \frac{(-1)^n \log^n(s+1)}{n} $$

Multiplicando por el factor externo $(-1)^{n-1}$:
$$ (-1)^{n-1} I_1 = - \frac{(-1)^{2n-1} \log^n(s+1)}{n} = - \frac{(-1) \log^n(s+1)}{n} = \frac{\log^n(s+1)}{n} $$

5. Expansión en Serie de la Segunda Integral
Para $I_2 = \int_{\frac{1}{s+1}}^{1} \frac{\log^{n-1}(v)}{1-v} dv$, usamos la serie geométrica $\frac{1}{1-v} = \sum_{k=0}^{\infty} v^k$:
$$ (-1)^{n-1} I_2 = (-1)^{n-1} \sum_{k=0}^{\infty} \int_{\frac{1}{s+1}}^{1} v^k \log^{n-1}(v) dv $$

Usamos la propiedad de la integral definida: $\int_{a}^{1} = \int_{0}^{1} - \int_{0}^{a}$:
$$ \int_{\frac{1}{s+1}}^{1} v^k \log^{n-1}(v) dv = \int_{0}^{1} v^k \log^{n-1}(v) dv - \int_{0}^{\frac{1}{s+1}} v^k \log^{n-1}(v) dv $$

Utilizamos la fórmula general:
$$ \int_{0}^{a} x^m \log^k(x) dx = a^{m+1} \sum_{j=0}^{k} (-1)^j \binom{k}{j} \frac{j!}{(m+1)^{j+1}} \log^{k-j}(a) $$

6. Resolución de los Términos de la Serie
Para el caso $\int_0^1$ (donde $a=1$), todos los términos del logaritmo se anulan excepto para $j=k$:
$$ \int_{0}^{1} v^k \log^{n-1}(v) dv = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(k+1)^n} $$

Sumando sobre $k$:
$$ (-1)^{n-1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(k+1)^n} = (n-1)! \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n} = \Gamma(n) \zeta(n) $$

Para el término $\int_0^{\frac{1}{s+1}}$, aplicando la fórmula general con $a = \frac{1}{s+1}$ y $m=k$:
$$ \int_{0}^{\frac{1}{s+1}} v^k \log^{n-1}(v) dv = \left(\frac{1}{s+1}\right)^{k+1} \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^j \binom{n-1}{j} \frac{j!}{(k+1)^{j+1}} \log^{n-1-j}\left(\frac{1}{s+1}\right) $$

7. Expresión Final con Polilogaritmo
Sustituyendo $\log(1/(s+1)) = -\log(s+1)$ y reordenando las sumas:
$$ I = \frac{\log^n(s+1)}{n} + \Gamma(n)\zeta(n) - \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} j! \log^{n-1-j}(s+1) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(1/(s+1))^k}{k^{j+1}} $$

Dado que $Li_s(z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^s}$, obtenemos el resultado final:

$$ \boxed{I = \frac{\log^n(s+1)}{n} + \Gamma(n)\zeta(n) - \sum_{j=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(n-1-j)!} \log^{n-1-j}(s+1) Li_{j+1}\left(\frac{1}{s+1}\right)} $$

Donde:

$\Gamma(n) = (n-1)!$ es la función Gamma.
$\zeta(n)$ es la función Zeta de Riemann.
$Li_{j+1}$ es la función Polilogaritmo de orden $j+1$.

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