Aprende con Inteligencia

Halle la integral:
$$\int (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})^\pi \, dx$$

Calcule el valor de la integral definida:
$$\int_{0}^{\pi} \cos(x) \cos(3x) \cos(5x) dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2(1 + x^2)^3} $$

3. Afirmación 1: Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función real tal que $\forall x, y \in \mathbb{R}$, $|f(x) - f(y)| \leq |x - y|^3$. Entonces $f(x)$ es una función constante.
Afirmación 2: Si la derivada de la función con respecto a $x$ es cero, entonces la función es constante.

Calcular:
$$\int \frac{e^x}{(1+e^x)\ln(1+e^x)} dx$$

Calcular el valor de:
$$\int_0^{2\pi} \cos(2022x) \frac{\sin(10050x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(10251x)}{\sin(51x)} \, dx$$

Evalúe:
$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin(x) + \sec(x)} \, dx$$

Sea el dominio de una sucesión $(s_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 5$. Defina una nueva sucesión $(t_n)$ por:
$$ t_n = \begin{cases} n & \text{si } n \leq 10^{5,070}, \\ s_n & \text{si } n > 10^{5,070}. \end{cases} $$
¿Converge $(t_n)$? Explique.

Calcule el valor de $\frac{dy}{dx}$ en $x = -1$, dada la siguiente ecuación implícita:
$$(\sin y)^{\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{-1}(2x) + 2^x \tan(\log(x+2)) = 0$$

Dada la función:
$$ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x^2} + \frac{1}{2} \operatorname{arcsec} \frac{x}{2} $$
Encuentre su derivada con respecto a $x$.

A partir de la regla del producto para la derivación y la interpretación geométrica de las áreas en el plano, deduzca la fórmula de integración por partes y explique el significado de las regiones sombreadas mostradas en las gráficas:
$$ \int u \frac{dv}{dx} \, dx = uv - \int v \frac{du}{dx} \, dx $$

Evaluar:
$$\int_0^\infty x^3 e^{-x^2} \, dx$$