Aprende con Inteligencia

Sea la función $f(x) = e^x - e^{-x} - 2\sin x - \frac{2}{3}x^3$. Determine el menor valor de $n$ para el cual la n-ésima derivada evaluada en cero es diferente de cero, es decir:
$$ \left. \frac{d^n}{dx^n} f(x) \right|_{x=0} \neq 0 $$

a. 5      b. 6      c. 7      d. 8

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2 + 2)^2}$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x^2 + 5x + 6} $$

Calcular la integral:
$$ \int \left\{ \frac{(\log x - 1)}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx $$
Nota: En este contexto, $\log x$ se refiere usualmente al logaritmo natural ($\ln x$). Al observar las opciones, corregimos el planteamiento para que coincida con la forma estándar: $\int \frac{\log x - 1}{(1 + (\log x)^2)} dx$ es poco común, la forma corregida por derivación es la opción (b).

(a) $\frac{xe^x}{1 + x^2} + c$      (b) $\frac{x e^x}{1 + (\log x)^2} + c$ \\
(c) $\frac{\log x}{1 + (\log x)^2} + c$      (d) $\frac{x}{1 + x^2} + c$

Si $y = \left( \frac{1}{2^{n-1}} \right) \cos(n \cos^{-1} x)$, demuestre que $y$ satisface la ecuación diferencial:
$$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + n^2 y = 0$$

Resolver la integral:
$$ \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} \, dx $$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \frac{x^3}{1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}} dx$$

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{\pi} x \sin^4(x) \, dx $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} $$

Paso 1:
Una placa circular se expande bajo la influencia del calor de modo que su radio aumenta de 5 pulg a 5.06 pulg. Encuentre el aumento aproximado en el área.

Hallar $(f^{-1} \circ g^{-1} \circ g^{-1})(x)$, si:
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^4 - 17x^2 + 16} & ; \quad x \in ]-\infty, -4] \cup ]-1, 1] \\ x \cdot \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2-16}} & ; \quad x > 4 \end{cases}$$
$$g(x) = \sqrt{\frac{x^2-16}{x^2-1}} \quad ; \quad x \in [0, 1] \cup [4, +\infty[$$

Paso 1:
Examine la ecuación $2x^2 - 4xy + 3y^2 - 8x + 8y - 1 = 0$ para encontrar sus puntos máximos y mínimos.