Aprende con Inteligencia

Calcular la integral:
$$ \int \frac{x \cos x + 1}{\sqrt{2x^3 e^{\sin x} + x^2}} dx = $$

(a) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} - 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1} \right) + c \)

(b) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1} \right) + c \)

(c) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} + 1} \right) + c \)

(d) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} - 1} \right) + c \)

Calcule:
$$\int \frac{2 dx}{(\cos(x) - \sin(x))^2}$$

Sea $y = \ln (1 + \cos x)^2$. Entonces el valor de $\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{2}{e^{y/2}}$ es igual a:

a. $0$ \\
b. $\frac{2}{1 + \cos x}$ \\
c. $\frac{4}{1 + \cos x}$ \\
d. $\frac{-4}{(1 + \cos x)^2}$

Calcule la integral de la función "parte entera" o "máximo entero" ($\lfloor \cdot \rfloor$):
$$\int_0^1 \left\lfloor \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \right\rfloor \, dx$$

Si $f(x)$ es una función derivable y estrictamente creciente, entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2) - f(x)}{f(x) - f(0)} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } 0 & \text{(c) } -1 & \text{(d) } 2 \end{array} $$

Paso 1:
Para la función: $f(x) = \left| \operatorname{sen}\left( \sqrt{x^2 + x} \right) \right| + 1$, encontrar el dominio y el rango.

Evaluar:
$$\int_{-27}^{27} \arcsin \left( \frac{x^{1/3}}{3} \right) \, dx$$

Calcule la integral definida:
$$\int_{0}^{2\pi} \sin(\sin(x) - x) dx$$

Suponga que $f$ y $g$ son funciones que tienen segundas derivadas $f''$ y $g''$ en todo su dominio. Si $f(x) \cdot g(x) = 1$ para todo $x$ y $f'$ y $g'$ nunca son cero, entonces $\frac{f''(x)}{f'(x)} - \frac{g''(x)}{g'(x)}$ es igual a:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{-2f'(x)}{f(x)} & \text{b. } -\frac{2g'(x)}{g(x)} \\ \text{c. } \frac{-f'(x)}{f(x)} & \text{d. } \frac{2f'(x)}{f(x)} \end{array} $$

Calcule:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{1 + e^x + e^{2x}}}$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{6 + x - 3x^2} $$

Resuelva la siguiente integral:
$$\int \frac{\ln(\cos x)}{\cos^2 x} dx$$