Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Las edades de los tres hijos de José y Martha están en progresión aritmética y suman 15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en progresión geométrica y suman 13. Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas familias, es la misma, encontrar las edades de los hijos de ambos esposos.

Demostrar que:
$$ \sin^2 \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{3\pi}{4} + \sin^2 \frac{5\pi}{4} + \sin^2 \frac{7\pi}{4} = 2 $$

Demuestre que:
$$ \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) = \frac{\sqrt{7}}{2} $$

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
$$ 2 \left( \frac{1}{\sin 2\alpha} + \cot 2\alpha \right) = \cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2} $$

Si $\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta + \sin^{2} \gamma - 2 = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$, demuestre que se cumple una de las siguientes condiciones:
$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = \pi (2k+1) \\ \alpha - \beta + \gamma = \pi (2l+1) \\ \alpha + \beta - \gamma = \pi (2m+1) \\ \alpha - \beta - \gamma = \pi (2n+1) \end{cases} $$

Paso 1:
47. Si $y = x^2 e^x$, demostrar que $y''' = (x^2 + 6x + 6)e^x$.

Paso 1:
Hallar cuatro números, los primeros tres de los cuales forman una progresión aritmética y los últimos tres una progresión geométrica; la suma del primero y el cuarto número es igual a $66$, y la suma del segundo y el tercero a $60$.

Encuentre el valor de la siguiente expresión:
$$ \tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \cdot \dots \cdot \tan 89^{\circ} $$

Demostrar: $E = (1 - \tan^2 x)(1 - \tan^2 2x)(1 - \tan^2 4x)\dots(1 - \tan^2 32x)$
Resp. $E = 64 \tan x \cot 64x$

Derivar la siguiente expresión:
$$ y = x \ln(4 + x^2) + 4 \arctan\left(\frac{1}{2}x\right) - 2x $$

Simplificar la siguiente expresión:
$$ \log \left( 2 - \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{3} \cdot \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3} \right) $$

Factorice el polinomio $P_{(x)} = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$.

A) $P_{(x)} = (x - 1)(x - 2)^2$
B) $P_{(x)} = (x - 2)(x - 1)^2$