Aprende con Inteligencia

Resuelve el sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} 12(x+y)^2 + x = 2.5 - y \\ 6(x-y)^2 + x = 0.125 + y \end{cases} $$

Paso 1:
Un ciclista debía recorrer $48\text{ km}$ con una cierta velocidad promedio. Pero por alguna razón, durante la primera mitad del camino, su velocidad se redujo en un $20\%$, y en la segunda mitad, su velocidad excedió la velocidad promedio supuesta en $2\text{ km/h}$. El ciclista tardó $5$ horas en recorrer toda la distancia. Encuentre la velocidad promedio supuesta.

Demostrar que:
$$ (1 + \sec 2\theta)(1 + \sec 2^2 \theta)(1 + \sec 2^3 \theta) \dots (1 + \sec 2^n \theta) = \frac{\tan 2^n \theta}{\tan \theta} $$

Paso 1:
Si $\frac{\cos^4 x}{\cos^2 y} + \frac{\sin^4 x}{\sin^2 y} = 1$, demuestre que $\frac{\cos^4 y}{\cos^2 x} + \frac{\sin^4 y}{\sin^2 x} = 1$.

Si $A + B + C = \pi$, demostrar que:
$$ \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2(1 + \cos A \cos B \cos C) $$

Si $a \geqslant 0, b \geqslant 0, c \geqslant 0$ y además $a + b + c = 1$, demuestre que:
$$ (1 - a)(1 - b)(1 - c) \geqslant 8abc $$

14. En: $\log_3(x+4) + \log_3(x-4) = 2$, calcular el valor de $x$.

a) 1      b) 2      c) 3      d) 4      e) 5

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \cos (x - y) = 2 \cos (x + y) \\ \cos x \cos y = 0.75 \end{cases} $$

Demostrar que si $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2\pi$, entonces:
$$ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma + \sin \delta = 4 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \sin \frac{\gamma + \alpha}{2} $$

Hallar una de las raíces de la ecuación:
$$3x^2(x^2 + 8) + 16(x^3 - 1) = 0$$

a) $-\frac{2}{3}$      b) 1      c) -1      d) 2      e) -2

Problema 295.
En una P.G. el número de términos viene dado por el valor de $n$, que satisface la siguiente igualdad:
$$3^{n-1} + 3^{n-2} + 3^{n-3} + 3^{n-4} + 3^{n-5} = 121$$
Sabiendo además que se verifica la siguiente igualdad: $\frac{S_{3n} - S_{2n}}{S_{2n} - S_{n}} = 32$, donde $S_n$ representa la suma de sus $n$ primeros términos. Halle la razón de esta progresión.
Resp. $r = 2$

Si $x = 2$ e $y = 3$, determina el valor numérico de la expresión $E$:

$$ E = \left(\frac{x^3 \cdot y^{-1}}{x^{-2} \cdot y^2}\right)^2 \cdot \frac{y}{x} $$