Aprende con Inteligencia

Demuestre lo siguiente:

1. [(a)] Si $y = a \cosh \frac{x}{a}$, entonces $y'' = \frac{1}{a} \sqrt{1 + (y')^2}$.
2. [(b)] Si $y = A \cosh bx + B \sinh bx$, donde $b, A$ y $B$ son constantes, entonces $y'' = b^2 y$.

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \tan^{6} x \, dx $$

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} \sin^2 x - \sin^2 y = a \\ x + y = b \end{cases} $$

Paso 1:
Sea la función $f(x) = (x - |x+2| + 3)\sqrt{x+2}$. Si existe halle $f^{-1}(x)$.

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{(1 + x)^2}{x(1 + x^2)} dx$

Paso 1:
Un número de tres dígitos termina en el dígito 3. Si este dígito pasa a la primera posición del número, entonces el nuevo número obtenido excederá al triple del número original en 1. Encuentre el número original.

Calcular:
$$\int \frac{\sinh(x)}{\cosh(x) - \sinh(x)} \, dx$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \sin^{-1}(\cos x) dx$

Efectuar:
$$\frac{(a + c - b + x)(a + b - c + x)}{(b - a)(c - a)} + \frac{(b + c - a + x)(a + b - c + x)}{(c - b)(a - b)} + \frac{(b + c - a + x)(a + c - b + x)}{(a - c)(b - c)}$$

a) 4      b) $ab + bc + ac$      c) $a + b + c$      d) 0      e) 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y determinar el valor de $x$:
$$ \begin{cases} 5\sqrt{x^2 - 3y - 1} + \sqrt{x + 6y} = 19 & \text{(I)} \\ 3\sqrt{x^2 - 3y - 1} = 1 + 2\sqrt{x + 6y} & \text{(II)} \end{cases} $$

$$ \begin{array}{lllll} \text{(a) } 2 & \text{(b) } 4 & \text{(c) } 1 & \text{(d) } -1 & \text{(e) } -4 \end{array} $$

Resolver la ecuación:
$$\begin{vmatrix} 4x & 6x + 2 & 8x + 1 \\ 6x + 2 & 9x + 3 & 12x \\ 8x + 1 & 12x & 16x + 2 \end{vmatrix} = 0$$

a) $-\frac{11}{97}$      b) $\frac{97}{11}$      c) $-\frac{97}{11}$      d) $-97$      e) $\frac{11}{97}$

Calcular el valor de "$x$" para que la expresión sea de segundo grado:
$$M = \sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{a^2} \cdot \sqrt[x]{a^3} \cdot \dots \cdot \sqrt[x]{a^x}$$

a) 1      b) 2      c) 3      d) 4      e) 5