Aprende con Inteligencia

Dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$, determine $(f \circ g)(x)$ e indique su dominio.
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{|1-x|-2} & ; \quad x > 3 \\ \lfloor x^2 - 1 \rfloor & ; \quad 0 < x \leq 3 \end{cases} \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x+1}{x-4}$$

Determine la integral indefinida de la función compuesta:
$$ \int \sin(\text{arccosh}(x)) dx $$

Si $y = \log_{\sin x}(\tan x)$, entonces el valor de $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\pi/4}$ es igual a:

a. $\frac{4}{\log 2}$     
b. $-4 \log 2$     
c. $\frac{-4}{\log 2}$     
d. Ninguna de las anteriores

El valor de $(4 + \sec 20^\circ)\sin 20^\circ$ es:

(a) 1
(b) $\sqrt{2}$
(c) $\sqrt{3}$
(d) $2\sqrt{3}$

Determine los valores máximos o mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento para las siguientes funciones:
(a) $y = -x^2$
(b) $y = (x - 3)^2$
(c) $y = \sqrt{25 - 4x^2}$
(d) $y = \sqrt{x - 4}$

En los problemas 33 a 36, encontrar $dy/dx$.
33. $y = \sinh^{-1} \left( \frac{1}{2}x \right)$

Paso 1:
Demuestre que para todo $n \in \mathbb{N}$, la expresión $(6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n)$ es divisible por $11$.

Resolver la ecuación:
$$ 1-\sin(5x)=\big(\cos\tfrac{3x}{2}-\sin\tfrac{3x}{2}\big)^2. $$

Paso 1:
Demostrar que la expresión $(3^{3n+2} + 5 \times 2^{3n+1})$ es divisible por $19$ para todo $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$.

Paso 1:
Dos ciclistas partieron simultáneamente de los puntos $A$ y $B$ y se encontraron $2.4$ horas después. Si el primer ciclista hubiera viajado un $50\%$ más rápido y el segundo un $20\%$ más rápido, al primer ciclista le habría tomado $\frac{2}{3}$ de hora más que al segundo para recorrer la distancia de $A$ a $B$. ¿Cuánto tiempo le toma a cada ciclista recorrer la distancia de $A$ a $B$?

Calcular:
$$ \int \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} \, dx $$

Demostrar que:
$$ \sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^2 \frac{7\pi}{8} = 2 $$