Aprende con Inteligencia

Calcule la siguiente integral definida:
$$\int_{-2023}^{2023} \underbrace{||||x|-1|-1|\cdots|-1|}_{2023 \, (-1)\text{'s}} dx$$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ para la función:
$$ y = x^2 \arccos \frac{2}{x} $$

41. Si: $n^n = 2$, calcular el valor de: $E = \sqrt[n^{-2n^{1-n}}]{n^{n^{1-n}}}$

$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } 2 & \text{B) } 4 & \text{C) } 8 & \text{D) } 16 & \text{E) } 32 \end{array} $$

Si las raíces de la ecuación $ax^{2}+bx+c=0$ son:
$$ \tan\theta+\sen\theta \quad \text{y}\quad \tan\theta-\sen\theta, $$
demuestre que:
$$ b^{4}=4ac\left(4a^{2}+b^{2}\right). $$

Si $A = \left( \sqrt{\frac{m+n}{m-n}} \right)^{\sqrt{m^2-n^2}}$, hallar el grado de:
$$M = \frac{\left[ A^{\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}} + A^{\sqrt{\frac{m-n}{m+n}}} \right] \left( \frac{m+n}{m+n} \right)}{\sqrt{\frac{m+n}{m-n} \left( \frac{2m}{m-n} \right)}}$$

a) 1      b) 2      c) m      d) m-n      e) 0

Si $e^x = \frac{\sqrt{1+t} - \sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t} + \sqrt{1-t}}$ y $\tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$, determinar $\frac{dy}{dx}$ en $t = \frac{1}{2}$.

• [a.] $-\frac{1}{2}$
• [b.] $\frac{1}{2}$
• [c.] $0$
• [d.] none of these

Demostrar que:
$$ \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} = \begin{cases} 2 \tan \alpha & \text{if } -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ -2 \tan \alpha & \text{if } \frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \end{cases} $$

Reduzca la expresión $Q$ a su forma más simple y evalúe para $x = 16$ y $y = 1$:

$$Q = \left( \sqrt{xy} - \frac{xy}{x + \sqrt{xy}} \right) \div \frac{\sqrt[4]{xy} - \sqrt{y}}{x - y}$$

Si $a, b$ y $c$ son números enteros que cumplen la relación $a + b + c = 0$, dar el valor de la fracción:
$$E = \frac{a^9 + b^9 + c^9 - 3a^3b^3c^3}{9abc}$$

a) $(b^2 + bc + c^2)^3$ \\
b) $(a + b + c)^3$ \\
c) $(ab + bc + ac)^3$ \\
d) $(a^2 + b^2 + c^2)^3$ \\
e) $(a^2 - ac + c^2)^2$

Demostrar que:
$$ 3 (\sin^4 x + \cos^4 x) - 2 (\sin^6 x + \cos^6 x) = 1 $$

Teniendo en cuenta que:
$$ A = k \sqrt[k]{\frac{(\frac{1}{n})^{\frac{k}{2}}}{(1)(2)(3)...n}} - \left( \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{4n}} + \frac{1}{\sqrt{9n}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k^2 n}} \right) $$
Además $t$ cumple con la condición: $x^{x^t} = (tx)^x$; siendo $x = 10^{\frac{1}{9}}$, calcular $t^2 \text{sgn}(A)$.

$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } 10 & \text{B) } 100 & \text{C) } -10 & \text{D) } -100 & \text{E) } 0 \end{array} $$

Paso 1:

1. [a.] $e^{x/2}$
2. [b.] $e^x$
3. [c.] $e^{2x}$
4. [d.] $e^{4x}$