Aprende con Inteligencia

Hallar el resto al dividir:
$$P(x) = (x - 1)^6 x^3 (2 - x)^3 \quad \text{entre} \quad (x^2 - 2x - 2)$$

a) +128      b) -128      c) -216      d) 216      e) 0

Verificar la identidad:
$$ \arctan \frac{\sqrt{2}}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \arctan (3 + 2\sqrt{2}) $$

Resolver la ecuación:
$$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} + \sin^4 4x $$

Resolver la ecuación trigonométrica:
$$ \sin x \cos x - 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0 $$

Si $\alpha$ es la raíz común positiva de las ecuaciones:
$$ x^2 - ax + 12 = 0 $$
$$ x^2 - bx + 15 = 0 $$
$$ x^2 - (a+b)x + 36 = 0 $$
y además se cumple la ecuación trigonométrica $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$, entonces el valor de $\sin x + \sin 2x + \sin 3x$ es:

(a) 3      (b) $-3$      (c) 0      (d) 2

Hallar el valor del siguiente límite:
$$ \lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n(x) \, dx = \frac{1}{2} $$

Demuestre que:
$$ 3(\sin x - \cos x)^4 + 6(\sin x + \cos x)^2 + 4(\sin^6 x + \cos^6 x) = 13 $$

Si $y = \frac{(a-x) \sqrt{a-x} - (b-x) \sqrt{x-b}}{\sqrt{a-x} + \sqrt{x-b}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ donde esté definida es:

a. $\frac{x+(a+b)}{\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
b. $\frac{2x-a-b}{2\sqrt{a-x}\sqrt{x-b}}$ \\
c. $-\frac{(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$ \\
d. $\frac{2x+(a+b)}{2\sqrt{(a-x)(x-b)}}$

Assertion (A): Si $A$ es un ángulo obtuso en un $\triangle ABC$, entonces $\tan B \cdot \tan C > 1$.

Reason (R): En un $\triangle ABC$, $\tan A = \frac{\tan B + \tan C}{\tan B \tan C - 1}$.

(a) A (b) B (c) C (d) D

Calcular la suma de los coeficientes de uno de los factores:
$$(2a^2 + 3ab - b^2)^2 - 4(a^2 - b^2)(a^2 + 3ab + 2b^2)$$

a) 2      b) 1      c) 0      d) -1      e) 3

Evaluar:
$P(x) = x^8 - 2x^4 - 16x^2 + 4\sqrt{3}$
para $x = \sqrt{1 + \sqrt{3}}$

a) -4      b) 3      c) 11      d) 15      e) 4

Si $f(x) = x^2 + x - 3$ es factor algebraico del polinomio $P(x) = ax^4 - bx^3 - cx - 3$, entonces determine el valor numérico de $a + b + c$.

A) 3      B) 4      C) 5      D) 2      E) 6